Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31967 / 38432
↖ ↑ ↗
← S 29.688053°
W  4.400024°		 ← 530.61 m → S 29.688053°
W  4.394531°		 →
↑
530.64 m
↓
↑
530.64 m
↓
S 29.692825°
W  4.400024°		 ← 530.59 m →
281 558 m²		 S 29.692825°
W  4.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487785339355469 y=0.586433410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487785339355469 × 216)
    floor (0.487785339355469 × 65536)
    floor (31967.5)     		tx = 31967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586433410644531 × 216)
    floor (0.586433410644531 × 65536)
    floor (38432.5)     		ty = 38432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31967 / 38432 ti = "16/31967/38432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31967/38432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31967 ÷ 216
    31967 ÷ 65536     		x = 0.487777709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38432 ÷ 216
    38432 ÷ 65536     		y = 0.58642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487777709960938 × 2 - 1) × π
    -0.024444580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07679491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58642578125 × 2 - 1) × π
    -0.1728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.543029198895996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07679491} λ = -0.07679491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543029198895996))-π/2
    2×atan(0.580985662975984)-π/2
    2×0.526321028908811-π/2
    1.05264205781762-1.57079632675     		φ = -0.51815427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07679491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.400024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51815427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.688053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31967 KachelY 38432 -0.07679491 -0.51815427 -4.400024 -29.688053
    Oben rechts KachelX + 1 31968 KachelY 38432 -0.07669904 -0.51815427 -4.394531 -29.688053
    Unten links KachelX 31967 KachelY + 1 38433 -0.07679491 -0.51823756 -4.400024 -29.692825
    Unten rechts KachelX + 1 31968 KachelY + 1 38433 -0.07669904 -0.51823756 -4.394531 -29.692825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51815427--0.51823756) × R
    8.32899999999581e-05 × 6371000     		dl = 530.640589999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51815427--0.51823756) × R
    8.32899999999581e-05 × 6371000     		dr = 530.640589999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07679491--0.07669904) × cos(-0.51815427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.868734807526026 × 6371000     		do = 530.612595810189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07679491--0.07669904) × cos(-0.51823756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.868693552847088 × 6371000     		du = 530.587397956839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51815427)-sin(-0.51823756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868734807526026-0.868693552847088)×R²
    abs(-0.07669904--0.07679491)×4.12546789376744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.12546789376744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12546789376744e-05×40589641000000     		ar = 281557.895562895m²