Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31960 / 38443
↖ ↑ ↗
← S 29.740532°
W  4.438477°		 ← 530.34 m → S 29.740532°
W  4.432984°		 →
↑
530.32 m
↓
↑
530.32 m
↓
S 29.745302°
W  4.438477°		 ← 530.31 m →
281 242 m²		 S 29.745302°
W  4.432984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487678527832031 y=0.586601257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487678527832031 × 216)
    floor (0.487678527832031 × 65536)
    floor (31960.5)     		tx = 31960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586601257324219 × 216)
    floor (0.586601257324219 × 65536)
    floor (38443.5)     		ty = 38443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31960 / 38443 ti = "16/31960/38443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31960/38443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31960 ÷ 216
    31960 ÷ 65536     		x = 0.4876708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38443 ÷ 216
    38443 ÷ 65536     		y = 0.586593627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4876708984375 × 2 - 1) × π
    -0.024658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07746603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586593627929688 × 2 - 1) × π
    -0.173187255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.544083810687637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07746603} λ = -0.07746603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544083810687637))-π/2
    2×atan(0.580373271619367)-π/2
    2×0.525863059601633-π/2
    1.05172611920327-1.57079632675     		φ = -0.51907021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07746603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.438477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51907021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.740532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31960 KachelY 38443 -0.07746603 -0.51907021 -4.438477 -29.740532
    Oben rechts KachelX + 1 31961 KachelY 38443 -0.07737016 -0.51907021 -4.432984 -29.740532
    Unten links KachelX 31960 KachelY + 1 38444 -0.07746603 -0.51915345 -4.438477 -29.745302
    Unten rechts KachelX + 1 31961 KachelY + 1 38444 -0.07737016 -0.51915345 -4.432984 -29.745302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51907021--0.51915345) × R
    8.32400000000399e-05 × 6371000     		dl = 530.322040000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51907021--0.51915345) × R
    8.32400000000399e-05 × 6371000     		dr = 530.322040000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07746603--0.07737016) × cos(-0.51907021) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.868280798675538 × 6371000     		do = 530.335292756916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07746603--0.07737016) × cos(-0.51915345) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.868239502548156 × 6371000     		du = 530.310069587362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51907021)-sin(-0.51915345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868280798675538-0.868239502548156)×R²
    abs(-0.07737016--0.07746603)×4.12961273824619e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.12961273824619e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.12961273824619e-05×40589641000000     		ar = 281241.806300098m²