Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31955 / 21717
↖ ↑ ↗
← N 76.044605°
W 92.232971°		 ← 73.66 m → N 76.044605°
W 92.230225°		 →
↑
73.65 m
↓
↑
73.65 m
↓
N 76.043942°
W 92.232971°		 ← 73.66 m →
5 425 m²		 N 76.043942°
W 92.230225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243801116943359 y=0.165691375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243801116943359 × 217)
    floor (0.243801116943359 × 131072)
    floor (31955.5)     		tx = 31955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165691375732422 × 217)
    floor (0.165691375732422 × 131072)
    floor (21717.5)     		ty = 21717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31955 / 21717 ti = "17/31955/21717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31955/21717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31955 ÷ 217
    31955 ÷ 131072     		x = 0.243797302246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21717 ÷ 217
    21717 ÷ 131072     		y = 0.165687561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243797302246094 × 2 - 1) × π
    -0.512405395507812 × 3.1415926535     		Λ = -1.60976903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165687561035156 × 2 - 1) × π
    0.668624877929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.10054700445124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.60976903} λ = -1.60976903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10054700445124))-π/2
    2×atan(8.17063806579785)-π/2
    2×1.44901252822505-π/2
    2.89802505645009-1.57079632675     		φ = 1.32722873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.60976903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.232971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32722873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.044605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31955 KachelY 21717 -1.60976903 1.32722873 -92.232971 76.044605
    Oben rechts KachelX + 1 31956 KachelY 21717 -1.60972109 1.32722873 -92.230225 76.044605
    Unten links KachelX 31955 KachelY + 1 21718 -1.60976903 1.32721717 -92.232971 76.043942
    Unten rechts KachelX + 1 31956 KachelY + 1 21718 -1.60972109 1.32721717 -92.230225 76.043942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32722873-1.32721717) × R
    1.15600000001326e-05 × 6371000     		dl = 73.6487600008446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32722873-1.32721717) × R
    1.15600000001326e-05 × 6371000     		dr = 73.6487600008446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.60976903--1.60972109) × cos(1.32722873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.241166448614155 × 6371000     		do = 73.658441031102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.60976903--1.60972109) × cos(1.32721717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2411776673904 × 6371000     		du = 73.6618675341384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32722873)-sin(1.32721717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241166448614155-0.2411776673904)×R²
    abs(-1.60972109--1.60976903)×1.12187762446592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12187762446592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12187762446592e-05×40589641000000     		ar = 5424.97902442207m²