Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31954 / 21713
↖ ↑ ↗
← N 76.047254°
W 92.235718°		 ← 73.63 m → N 76.047254°
W 92.232971°		 →
↑
73.65 m
↓
↑
73.65 m
↓
N 76.046592°
W 92.235718°		 ← 73.63 m →
5 423 m²		 N 76.046592°
W 92.232971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243793487548828 y=0.165660858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243793487548828 × 217)
    floor (0.243793487548828 × 131072)
    floor (31954.5)     		tx = 31954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165660858154297 × 217)
    floor (0.165660858154297 × 131072)
    floor (21713.5)     		ty = 21713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31954 / 21713 ti = "17/31954/21713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31954/21713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31954 ÷ 217
    31954 ÷ 131072     		x = 0.243789672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21713 ÷ 217
    21713 ÷ 131072     		y = 0.165657043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243789672851562 × 2 - 1) × π
    -0.512420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.60981696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165657043457031 × 2 - 1) × π
    0.668685913085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.10073875204972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.60981696} λ = -1.60981696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10073875204972))-π/2
    2×atan(8.17220491624013)-π/2
    2×1.44903564761756-π/2
    2.89807129523512-1.57079632675     		φ = 1.32727497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.60981696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.235718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32727497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.047254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31954 KachelY 21713 -1.60981696 1.32727497 -92.235718 76.047254
    Oben rechts KachelX + 1 31955 KachelY 21713 -1.60976903 1.32727497 -92.232971 76.047254
    Unten links KachelX 31954 KachelY + 1 21714 -1.60981696 1.32726341 -92.235718 76.046592
    Unten rechts KachelX + 1 31955 KachelY + 1 21714 -1.60976903 1.32726341 -92.232971 76.046592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32727497-1.32726341) × R
    1.15599999999105e-05 × 6371000     		dl = 73.64875999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32727497-1.32726341) × R
    1.15599999999105e-05 × 6371000     		dr = 73.64875999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.60981696--1.60976903) × cos(1.32727497) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.241121573186913 × 6371000     		do = 73.6293730651943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.60981696--1.60976903) × cos(1.32726341) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.24113279209206 × 6371000     		du = 73.6327988928444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32727497)-sin(1.32726341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241121573186913-0.24113279209206)×R²
    abs(-1.60976903--1.60981696)×1.12189051472145e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.12189051472145e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.12189051472145e-05×40589641000000     		ar = 5422.83817978222m²