Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31951 / 21711
↖ ↑ ↗
← N 76.048578°
W 92.243957°		 ← 73.62 m → N 76.048578°
W 92.241211°		 →
↑
73.59 m
↓
↑
73.59 m
↓
N 76.047916°
W 92.243957°		 ← 73.63 m →
5 418 m²		 N 76.047916°
W 92.241211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243770599365234 y=0.165645599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243770599365234 × 217)
    floor (0.243770599365234 × 131072)
    floor (31951.5)     		tx = 31951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165645599365234 × 217)
    floor (0.165645599365234 × 131072)
    floor (21711.5)     		ty = 21711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31951 / 21711 ti = "17/31951/21711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31951/21711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31951 ÷ 217
    31951 ÷ 131072     		x = 0.243766784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21711 ÷ 217
    21711 ÷ 131072     		y = 0.165641784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243766784667969 × 2 - 1) × π
    -0.512466430664062 × 3.1415926535     		Λ = -1.60996077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165641784667969 × 2 - 1) × π
    0.668716430664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.10083462584896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.60996077} λ = -1.60996077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10083462584896))-π/2
    2×atan(8.17298845413339)-π/2
    2×1.44904720570056-π/2
    2.89809441140113-1.57079632675     		φ = 1.32729808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.60996077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.243957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32729808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.048578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31951 KachelY 21711 -1.60996077 1.32729808 -92.243957 76.048578
    Oben rechts KachelX + 1 31952 KachelY 21711 -1.60991284 1.32729808 -92.241211 76.048578
    Unten links KachelX 31951 KachelY + 1 21712 -1.60996077 1.32728653 -92.243957 76.047916
    Unten rechts KachelX + 1 31952 KachelY + 1 21712 -1.60991284 1.32728653 -92.241211 76.047916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32729808-1.32728653) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dl = 73.5850499998172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32729808-1.32728653) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dr = 73.5850499998172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.60996077--1.60991284) × cos(1.32729808) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.241099144984959 × 6371000     		do = 73.6225243439163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.60996077--1.60991284) × cos(1.32728653) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.241110354249543 × 6371000     		du = 73.6259472277047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32729808)-sin(1.32728653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241099144984959-0.241110354249543)×R²
    abs(-1.60991284--1.60996077)×1.12092645847273e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.12092645847273e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.12092645847273e-05×40589641000000     		ar = 5417.64307144067m²