Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31942 / 38460
↖ ↑ ↗
← S 29.821583°
W  4.537354°		 ← 529.96 m → S 29.821583°
W  4.531860°		 →
↑
529.88 m
↓
↑
529.88 m
↓
S 29.826348°
W  4.537354°		 ← 529.94 m →
280 807 m²		 S 29.826348°
W  4.531860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487403869628906 y=0.586860656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487403869628906 × 216)
    floor (0.487403869628906 × 65536)
    floor (31942.5)     		tx = 31942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586860656738281 × 216)
    floor (0.586860656738281 × 65536)
    floor (38460.5)     		ty = 38460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31942 / 38460 ti = "16/31942/38460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31942/38460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31942 ÷ 216
    31942 ÷ 65536     		x = 0.487396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38460 ÷ 216
    38460 ÷ 65536     		y = 0.58685302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.02520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07919176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58685302734375 × 2 - 1) × π
    -0.1737060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.545713665274719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07919176} λ = -0.07919176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545713665274719))-π/2
    2×atan(0.579428118021089)-π/2
    2×0.525155760089273-π/2
    1.05031152017855-1.57079632675     		φ = -0.52048481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07919176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.537354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52048481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.821583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31942 KachelY 38460 -0.07919176 -0.52048481 -4.537354 -29.821583
    Oben rechts KachelX + 1 31943 KachelY 38460 -0.07909588 -0.52048481 -4.531860 -29.821583
    Unten links KachelX 31942 KachelY + 1 38461 -0.07919176 -0.52056798 -4.537354 -29.826348
    Unten rechts KachelX + 1 31943 KachelY + 1 38461 -0.07909588 -0.52056798 -4.531860 -29.826348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52048481--0.52056798) × R
    8.31700000000213e-05 × 6371000     		dl = 529.876070000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52048481--0.52056798) × R
    8.31700000000213e-05 × 6371000     		dr = 529.876070000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07919176--0.07909588) × cos(-0.52048481) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.867578185241031 × 6371000     		do = 529.961418470234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07919176--0.07909588) × cos(-0.52056798) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.867536821732346 × 6371000     		du = 529.936151509736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52048481)-sin(-0.52056798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867578185241031-0.867536821732346)×R²
    abs(-0.07909588--0.07919176)×4.13635086851105e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.13635086851105e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.13635086851105e-05×40589641000000     		ar = 280807.179653632m²