Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31941 / 38463
↖ ↑ ↗
← S 29.835879°
W  4.542847°		 ← 529.83 m → S 29.835879°
W  4.537354°		 →
↑
529.88 m
↓
↑
529.88 m
↓
S 29.840644°
W  4.542847°		 ← 529.81 m →
280 738 m²		 S 29.840644°
W  4.537354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.487388610839844 y=0.586906433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.487388610839844 × 216)
    floor (0.487388610839844 × 65536)
    floor (31941.5)     		tx = 31941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586906433105469 × 216)
    floor (0.586906433105469 × 65536)
    floor (38463.5)     		ty = 38463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31941 / 38463 ti = "16/31941/38463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31941/38463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31941 ÷ 216
    31941 ÷ 65536     		x = 0.487380981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38463 ÷ 216
    38463 ÷ 65536     		y = 0.586898803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.487380981445312 × 2 - 1) × π
    -0.025238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07928763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586898803710938 × 2 - 1) × π
    -0.173797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.54600128667244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07928763} λ = -0.07928763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54600128667244))-π/2
    2×atan(0.579261486060513)-π/2
    2×0.525031001987751-π/2
    1.0500620039755-1.57079632675     		φ = -0.52073432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07928763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.542847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52073432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.835879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31941 KachelY 38463 -0.07928763 -0.52073432 -4.542847 -29.835879
    Oben rechts KachelX + 1 31942 KachelY 38463 -0.07919176 -0.52073432 -4.537354 -29.835879
    Unten links KachelX 31941 KachelY + 1 38464 -0.07928763 -0.52081749 -4.542847 -29.840644
    Unten rechts KachelX + 1 31942 KachelY + 1 38464 -0.07919176 -0.52081749 -4.537354 -29.840644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52073432--0.52081749) × R
    8.31700000000213e-05 × 6371000     		dl = 529.876070000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52073432--0.52081749) × R
    8.31700000000213e-05 × 6371000     		dr = 529.876070000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07928763--0.07919176) × cos(-0.52073432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.867454076712357 × 6371000     		do = 529.830341092538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07928763--0.07919176) × cos(-0.52081749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.867412695201626 × 6371000     		du = 529.805065771879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52073432)-sin(-0.52081749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867454076712357-0.867412695201626)×R²
    abs(-0.07919176--0.07928763)×4.13815107310755e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.13815107310755e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.13815107310755e-05×40589641000000     		ar = 280737.722672873m²