Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31937 / 19653
↖ ↑ ↗
← N 77.348062°
W 92.282410°		 ← 66.90 m → N 77.348062°
W 92.279663°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.347460°
W 92.282410°		 ← 66.90 m →
4 475 m²		 N 77.347460°
W 92.279663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243663787841797 y=0.149944305419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243663787841797 × 217)
    floor (0.243663787841797 × 131072)
    floor (31937.5)     		tx = 31937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149944305419922 × 217)
    floor (0.149944305419922 × 131072)
    floor (19653.5)     		ty = 19653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31937 / 19653 ti = "17/31937/19653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31937/19653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31937 ÷ 217
    31937 ÷ 131072     		x = 0.243659973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19653 ÷ 217
    19653 ÷ 131072     		y = 0.149940490722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243659973144531 × 2 - 1) × π
    -0.512680053710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.61063189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149940490722656 × 2 - 1) × π
    0.700119018554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.19948876526704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61063189} λ = -1.61063189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19948876526704))-π/2
    2×atan(9.02040077825985)-π/2
    2×1.46038733977115-π/2
    2.9207746795423-1.57079632675     		φ = 1.34997835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61063189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.282410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34997835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.348062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31937 KachelY 19653 -1.61063189 1.34997835 -92.282410 77.348062
    Oben rechts KachelX + 1 31938 KachelY 19653 -1.61058395 1.34997835 -92.279663 77.348062
    Unten links KachelX 31937 KachelY + 1 19654 -1.61063189 1.34996785 -92.282410 77.347460
    Unten rechts KachelX + 1 31938 KachelY + 1 19654 -1.61058395 1.34996785 -92.279663 77.347460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34997835-1.34996785) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dl = 66.895499999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34997835-1.34996785) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dr = 66.895499999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61063189--1.61058395) × cos(1.34997835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21902781145241 × 6371000     		do = 66.896731393389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61063189--1.61058395) × cos(1.34996785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219038056485805 × 6371000     		du = 66.899860490295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34997835)-sin(1.34996785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21902781145241-0.219038056485805)×R²
    abs(-1.61058395--1.61063189)×1.024503339489e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.024503339489e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.024503339489e-05×40589641000000     		ar = 4475.19495619738m²