Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31935 / 19649
↖ ↑ ↗
← N 77.350468°
W 92.287903°		 ← 66.87 m → N 77.350468°
W 92.285156°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.349867°
W 92.287903°		 ← 66.87 m →
4 473 m²		 N 77.349867°
W 92.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243648529052734 y=0.149913787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243648529052734 × 217)
    floor (0.243648529052734 × 131072)
    floor (31935.5)     		tx = 31935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149913787841797 × 217)
    floor (0.149913787841797 × 131072)
    floor (19649.5)     		ty = 19649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31935 / 19649 ti = "17/31935/19649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31935/19649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31935 ÷ 217
    31935 ÷ 131072     		x = 0.243644714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19649 ÷ 217
    19649 ÷ 131072     		y = 0.149909973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243644714355469 × 2 - 1) × π
    -0.512710571289062 × 3.1415926535     		Λ = -1.61072776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149909973144531 × 2 - 1) × π
    0.700180053710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.19968051286552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61072776} λ = -1.61072776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19968051286552))-π/2
    2×atan(9.02213058428418)-π/2
    2×1.46040833683506-π/2
    2.92081667367012-1.57079632675     		φ = 1.35002035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61072776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.287903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35002035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.350468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31935 KachelY 19649 -1.61072776 1.35002035 -92.287903 77.350468
    Oben rechts KachelX + 1 31936 KachelY 19649 -1.61067983 1.35002035 -92.285156 77.350468
    Unten links KachelX 31935 KachelY + 1 19650 -1.61072776 1.35000985 -92.287903 77.349867
    Unten rechts KachelX + 1 31936 KachelY + 1 19650 -1.61067983 1.35000985 -92.285156 77.349867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35002035-1.35000985) × R
    1.05000000001354e-05 × 6371000     		dl = 66.8955000008626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35002035-1.35000985) × R
    1.05000000001354e-05 × 6371000     		dr = 66.8955000008626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61072776--1.61067983) × cos(1.35002035) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.218986831077363 × 6371000     		do = 66.8702632810917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61072776--1.61067983) × cos(1.35000985) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.218997076207343 × 6371000     		du = 66.8733917547799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35002035)-sin(1.35000985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218986831077363-0.218997076207343)×R²
    abs(-1.61067983--1.61072776)×1.02451299796025e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02451299796025e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02451299796025e-05×40589641000000     		ar = 4473.42433789074m²