Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31922 / 19664
↖ ↑ ↗
← N 77.341443°
W 92.323608°		 ← 66.92 m → N 77.341443°
W 92.320862°		 →
↑
66.96 m
↓
↑
66.96 m
↓
N 77.340841°
W 92.323608°		 ← 66.92 m →
4 481 m²		 N 77.340841°
W 92.320862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243549346923828 y=0.150028228759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243549346923828 × 217)
    floor (0.243549346923828 × 131072)
    floor (31922.5)     		tx = 31922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150028228759766 × 217)
    floor (0.150028228759766 × 131072)
    floor (19664.5)     		ty = 19664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31922 / 19664 ti = "17/31922/19664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31922/19664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31922 ÷ 217
    31922 ÷ 131072     		x = 0.243545532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19664 ÷ 217
    19664 ÷ 131072     		y = 0.1500244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243545532226562 × 2 - 1) × π
    -0.512908935546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.61135094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1500244140625 × 2 - 1) × π
    0.699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19896145937122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61135094} λ = -1.61135094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19896145937122))-π/2
    2×atan(9.01564552159443)-π/2
    2×1.46032957758571-π/2
    2.92065915517142-1.57079632675     		φ = 1.34986283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61135094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.323608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34986283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.341443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31922 KachelY 19664 -1.61135094 1.34986283 -92.323608 77.341443
    Oben rechts KachelX + 1 31923 KachelY 19664 -1.61130301 1.34986283 -92.320862 77.341443
    Unten links KachelX 31922 KachelY + 1 19665 -1.61135094 1.34985232 -92.323608 77.340841
    Unten rechts KachelX + 1 31923 KachelY + 1 19665 -1.61130301 1.34985232 -92.320862 77.340841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34986283-1.34985232) × R
    1.05099999998526e-05 × 6371000     		dl = 66.9592099990608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34986283-1.34985232) × R
    1.05099999998526e-05 × 6371000     		dr = 66.9592099990608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61135094--1.61130301) × cos(1.34986283) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.219140525005243 × 6371000     		do = 66.9171955705977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61135094--1.61130301) × cos(1.34985232) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.219150779529801 × 6371000     		du = 66.9203269130335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34986283)-sin(1.34985232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219140525005243-0.219150779529801)×R²
    abs(-1.61130301--1.61135094)×1.02545245583285e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.02545245583285e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.02545245583285e-05×40589641000000     		ar = 4480.82738708454m²