Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 31919 / 19665
↖ ↑ ↗
← N 77.340841°
W 92.331848°		 ← 66.92 m → N 77.340841°
W 92.329102°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.340239°
W 92.331848°		 ← 66.92 m →
4 477 m²		 N 77.340239°
W 92.329102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243526458740234 y=0.150035858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243526458740234 × 217)
    floor (0.243526458740234 × 131072)
    floor (31919.5)     		tx = 31919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150035858154297 × 217)
    floor (0.150035858154297 × 131072)
    floor (19665.5)     		ty = 19665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31919 / 19665 ti = "17/31919/19665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31919/19665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31919 ÷ 217
    31919 ÷ 131072     		x = 0.243522644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19665 ÷ 217
    19665 ÷ 131072     		y = 0.150032043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243522644042969 × 2 - 1) × π
    -0.512954711914062 × 3.1415926535     		Λ = -1.61149475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150032043457031 × 2 - 1) × π
    0.699935913085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.1989135224716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61149475} λ = -1.61149475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1989135224716))-π/2
    2×atan(9.01521334985862)-π/2
    2×1.46032432500416-π/2
    2.92064865000832-1.57079632675     		φ = 1.34985232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61149475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.331848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34985232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.340841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31919 KachelY 19665 -1.61149475 1.34985232 -92.331848 77.340841
    Oben rechts KachelX + 1 31920 KachelY 19665 -1.61144682 1.34985232 -92.329102 77.340841
    Unten links KachelX 31919 KachelY + 1 19666 -1.61149475 1.34984182 -92.331848 77.340239
    Unten rechts KachelX + 1 31920 KachelY + 1 19666 -1.61144682 1.34984182 -92.329102 77.340239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34985232-1.34984182) × R
    1.05000000001354e-05 × 6371000     		dl = 66.8955000008626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34985232-1.34984182) × R
    1.05000000001354e-05 × 6371000     		dr = 66.8955000008626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61149475--1.61144682) × cos(1.34985232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219150779529801 × 6371000     		do = 66.9203269133435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61149475--1.61144682) × cos(1.34984182) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219161024273265 × 6371000     		du = 66.9234552690046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34985232)-sin(1.34984182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219150779529801-0.219161024273265)×R²
    abs(-1.61144682--1.61149475)×1.02447434641995e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02447434641995e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02447434641995e-05×40589641000000     		ar = 4476.77336550354m²