Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31903 / 37926
↖ ↑ ↗
← S 27.244863°
W  4.751587°		 ← 543.08 m → S 27.244863°
W  4.746094°		 →
↑
543 m
↓
↑
543 m
↓
S 27.249746°
W  4.751587°		 ← 543.06 m →
294 888 m²		 S 27.249746°
W  4.746094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486808776855469 y=0.578712463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486808776855469 × 216)
    floor (0.486808776855469 × 65536)
    floor (31903.5)     		tx = 31903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578712463378906 × 216)
    floor (0.578712463378906 × 65536)
    floor (37926.5)     		ty = 37926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31903 / 37926 ti = "16/31903/37926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31903/37926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31903 ÷ 216
    31903 ÷ 65536     		x = 0.486801147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37926 ÷ 216
    37926 ÷ 65536     		y = 0.578704833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486801147460938 × 2 - 1) × π
    -0.026397705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08293084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578704833984375 × 2 - 1) × π
    -0.15740966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.494517056480499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08293084} λ = -0.08293084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.494517056480499))-π/2
    2×atan(0.609865366713575)-π/2
    2×0.547641885777066-π/2
    1.09528377155413-1.57079632675     		φ = -0.47551256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08293084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.751587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47551256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.244863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31903 KachelY 37926 -0.08293084 -0.47551256 -4.751587 -27.244863
    Oben rechts KachelX + 1 31904 KachelY 37926 -0.08283496 -0.47551256 -4.746094 -27.244863
    Unten links KachelX 31903 KachelY + 1 37927 -0.08293084 -0.47559779 -4.751587 -27.249746
    Unten rechts KachelX + 1 31904 KachelY + 1 37927 -0.08283496 -0.47559779 -4.746094 -27.249746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47551256--0.47559779) × R
    8.52300000000472e-05 × 6371000     		dl = 543.000330000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47551256--0.47559779) × R
    8.52300000000472e-05 × 6371000     		dr = 543.000330000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08293084--0.08283496) × cos(-0.47551256) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.889058191422456 × 6371000     		do = 543.082512036567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08293084--0.08283496) × cos(-0.47559779) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.889019170393457 × 6371000     		du = 543.058675983252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47551256)-sin(-0.47559779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889058191422456-0.889019170393457)×R²
    abs(-0.08283496--0.08293084)×3.90210289984427e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.90210289984427e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.90210289984427e-05×40589641000000     		ar = 294887.511939338m²