Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3190 / 3114
↖ ↑ ↗
← S 67.941650°
E100.371094°		 ← 3 670.25 m → S 67.941650°
E100.458984°		 →
↑
3 667.66 m
↓
↑
3 667.66 m
↓
S 67.974634°
E100.371094°		 ← 3 665.04 m →
13 451 661 m²		 S 67.974634°
E100.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7789306640625 y=0.7603759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7789306640625 × 212)
    floor (0.7789306640625 × 4096)
    floor (3190.5)     		tx = 3190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7603759765625 × 212)
    floor (0.7603759765625 × 4096)
    floor (3114.5)     		ty = 3114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3190 / 3114 ti = "12/3190/3114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3190/3114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3190 ÷ 212
    3190 ÷ 4096     		x = 0.77880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3114 ÷ 212
    3114 ÷ 4096     		y = 0.76025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76025390625 × 2 - 1) × π
    -0.5205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63522351983936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75180606} λ = 1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63522351983936))-π/2
    2×atan(0.194908800446124)-π/2
    2×0.192495417229057-π/2
    0.384990834458114-1.57079632675     		φ = -1.18580549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18580549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.941650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3190 KachelY 3114 1.75180606 -1.18580549 100.371094 -67.941650
    Oben rechts KachelX + 1 3191 KachelY 3114 1.75334004 -1.18580549 100.458984 -67.941650
    Unten links KachelX 3190 KachelY + 1 3115 1.75180606 -1.18638117 100.371094 -67.974634
    Unten rechts KachelX + 1 3191 KachelY + 1 3115 1.75334004 -1.18638117 100.458984 -67.974634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18580549--1.18638117) × R
    0.000575680000000078 × 6371000     		dl = 3667.6572800005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18580549--1.18638117) × R
    0.000575680000000078 × 6371000     		dr = 3667.6572800005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75180606-1.75334004) × cos(-1.18580549) × R
    0.00153398000000005 × 0.375550644287607 × 6371000     		do = 3670.25140673324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75180606-1.75334004) × cos(-1.18638117) × R
    0.00153398000000005 × 0.375017040784134 × 6371000     		du = 3665.03650685476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18580549)-sin(-1.18638117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375550644287607-0.375017040784134)×R²
    abs(1.75334004-1.75180606)×0.000533603503472535×R²
    0.00153398000000005×0.000533603503472535×6371000²
    0.00153398000000005×0.000533603503472535×40589641000000     		ar = 13451661.430084m²