Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3190 / 3014
↖ ↑ ↗
← S 64.396938°
E100.371094°		 ← 4 223.24 m → S 64.396938°
E100.458984°		 →
↑
4 220.34 m
↓
↑
4 220.34 m
↓
S 64.434892°
E100.371094°		 ← 4 217.40 m →
17 811 191 m²		 S 64.434892°
E100.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7789306640625 y=0.7359619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7789306640625 × 212)
    floor (0.7789306640625 × 4096)
    floor (3190.5)     		tx = 3190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7359619140625 × 212)
    floor (0.7359619140625 × 4096)
    floor (3014.5)     		ty = 3014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3190 / 3014 ti = "12/3190/3014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3190/3014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3190 ÷ 212
    3190 ÷ 4096     		x = 0.77880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3014 ÷ 212
    3014 ÷ 4096     		y = 0.73583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73583984375 × 2 - 1) × π
    -0.4716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48182544105518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75180606} λ = 1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48182544105518))-π/2
    2×atan(0.227222528242199)-π/2
    2×0.223428867163543-π/2
    0.446857734327085-1.57079632675     		φ = -1.12393859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12393859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.396938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3190 KachelY 3014 1.75180606 -1.12393859 100.371094 -64.396938
    Oben rechts KachelX + 1 3191 KachelY 3014 1.75334004 -1.12393859 100.458984 -64.396938
    Unten links KachelX 3190 KachelY + 1 3015 1.75180606 -1.12460102 100.371094 -64.434892
    Unten rechts KachelX + 1 3191 KachelY + 1 3015 1.75334004 -1.12460102 100.458984 -64.434892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12393859--1.12460102) × R
    0.000662429999999992 × 6371000     		dl = 4220.34152999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12393859--1.12460102) × R
    0.000662429999999992 × 6371000     		dr = 4220.34152999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75180606-1.75334004) × cos(-1.12393859) × R
    0.00153398000000005 × 0.432133949586091 × 6371000     		do = 4223.23929006739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75180606-1.75334004) × cos(-1.12460102) × R
    0.00153398000000005 × 0.431536469195384 × 6371000     		du = 4217.4001222272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12393859)-sin(-1.12460102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432133949586091-0.431536469195384)×R²
    abs(1.75334004-1.75180606)×0.00059748039070745×R²
    0.00153398000000005×0.00059748039070745×6371000²
    0.00153398000000005×0.00059748039070745×40589641000000     		ar = 17811191.1770418m²