Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3189 / 2998
↖ ↑ ↗
← S 63.782486°
E100.283203°		 ← 4 317.51 m → S 63.782486°
E100.371094°		 →
↑
4 314.50 m
↓
↑
4 314.50 m
↓
S 63.821288°
E100.283203°		 ← 4 311.57 m →
18 615 112 m²		 S 63.821288°
E100.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7786865234375 y=0.7320556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7786865234375 × 212)
    floor (0.7786865234375 × 4096)
    floor (3189.5)     		tx = 3189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7320556640625 × 212)
    floor (0.7320556640625 × 4096)
    floor (2998.5)     		ty = 2998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3189 / 2998 ti = "12/3189/2998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3189/2998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3189 ÷ 212
    3189 ÷ 4096     		x = 0.778564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2998 ÷ 212
    2998 ÷ 4096     		y = 0.73193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778564453125 × 2 - 1) × π
    0.55712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75027208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73193359375 × 2 - 1) × π
    -0.4638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75027208} λ = 1.75027208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45728174844971))-π/2
    2×atan(0.232868410105829)-π/2
    2×0.228790970231089-π/2
    0.457581940462178-1.57079632675     		φ = -1.11321439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75027208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11321439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.782486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3189 KachelY 2998 1.75027208 -1.11321439 100.283203 -63.782486
    Oben rechts KachelX + 1 3190 KachelY 2998 1.75180606 -1.11321439 100.371094 -63.782486
    Unten links KachelX 3189 KachelY + 1 2999 1.75027208 -1.11389160 100.283203 -63.821288
    Unten rechts KachelX + 1 3190 KachelY + 1 2999 1.75180606 -1.11389160 100.371094 -63.821288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11321439--1.11389160) × R
    0.000677210000000095 × 6371000     		dl = 4314.5049100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11321439--1.11389160) × R
    0.000677210000000095 × 6371000     		dr = 4314.5049100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75027208-1.75180606) × cos(-1.11321439) × R
    0.00153398000000005 × 0.44178009961464 × 6371000     		do = 4317.51098484507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75027208-1.75180606) × cos(-1.11389160) × R
    0.00153398000000005 × 0.441172457439575 × 6371000     		du = 4311.57250602272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11321439)-sin(-1.11389160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44178009961464-0.441172457439575)×R²
    abs(1.75180606-1.75027208)×0.000607642175064871×R²
    0.00153398000000005×0.000607642175064871×6371000²
    0.00153398000000005×0.000607642175064871×40589641000000     		ar = 18615112.2565075m²