Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31881 / 37648
↖ ↑ ↗
← S 25.878994°
W  4.872437°		 ← 549.54 m → S 25.878994°
W  4.866944°		 →
↑
549.56 m
↓
↑
549.56 m
↓
S 25.883937°
W  4.872437°		 ← 549.51 m →
301 998 m²		 S 25.883937°
W  4.866944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486473083496094 y=0.574470520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486473083496094 × 216)
    floor (0.486473083496094 × 65536)
    floor (31881.5)     		tx = 31881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574470520019531 × 216)
    floor (0.574470520019531 × 65536)
    floor (37648.5)     		ty = 37648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31881 / 37648 ti = "16/31881/37648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31881/37648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31881 ÷ 216
    31881 ÷ 65536     		x = 0.486465454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37648 ÷ 216
    37648 ÷ 65536     		y = 0.574462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486465454101562 × 2 - 1) × π
    -0.027069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08504006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.14892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.467864140291748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08504006} λ = -0.08504006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467864140291748))-π/2
    2×atan(0.626338612058484)-π/2
    2×0.559561333709165-π/2
    1.11912266741833-1.57079632675     		φ = -0.45167366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08504006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.872437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45167366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.878994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31881 KachelY 37648 -0.08504006 -0.45167366 -4.872437 -25.878994
    Oben rechts KachelX + 1 31882 KachelY 37648 -0.08494419 -0.45167366 -4.866944 -25.878994
    Unten links KachelX 31881 KachelY + 1 37649 -0.08504006 -0.45175992 -4.872437 -25.883937
    Unten rechts KachelX + 1 31882 KachelY + 1 37649 -0.08494419 -0.45175992 -4.866944 -25.883937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45167366--0.45175992) × R
    8.62600000000047e-05 × 6371000     		dl = 549.56246000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45167366--0.45175992) × R
    8.62600000000047e-05 × 6371000     		dr = 549.56246000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08504006--0.08494419) × cos(-0.45167366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.899717857138809 × 6371000     		do = 549.53666359098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08504006--0.08494419) × cos(-0.45175992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89968020371972 × 6371000     		du = 549.513665343102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45167366)-sin(-0.45175992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899717857138809-0.89968020371972)×R²
    abs(-0.08494419--0.08504006)×3.76534190889011e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76534190889011e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76534190889011e-05×40589641000000     		ar = 301998.401403654m²