Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31880 / 37769
↖ ↑ ↗
← S 26.475490°
W  4.877929°		 ← 546.73 m → S 26.475490°
W  4.872437°		 →
↑
546.76 m
↓
↑
546.76 m
↓
S 26.480407°
W  4.877929°		 ← 546.71 m →
298 924 m²		 S 26.480407°
W  4.872437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486457824707031 y=0.576316833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486457824707031 × 216)
    floor (0.486457824707031 × 65536)
    floor (31880.5)     		tx = 31880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576316833496094 × 216)
    floor (0.576316833496094 × 65536)
    floor (37769.5)     		ty = 37769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31880 / 37769 ti = "16/31880/37769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31880/37769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31880 ÷ 216
    31880 ÷ 65536     		x = 0.4864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37769 ÷ 216
    37769 ÷ 65536     		y = 0.576309204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4864501953125 × 2 - 1) × π
    -0.027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08513593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576309204101562 × 2 - 1) × π
    -0.152618408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.479464869999802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08513593} λ = -0.08513593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479464869999802))-π/2
    2×atan(0.619114609977207)-π/2
    2×0.55435592589699-π/2
    1.10871185179398-1.57079632675     		φ = -0.46208447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08513593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.877929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46208447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.475490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31880 KachelY 37769 -0.08513593 -0.46208447 -4.877929 -26.475490
    Oben rechts KachelX + 1 31881 KachelY 37769 -0.08504006 -0.46208447 -4.872437 -26.475490
    Unten links KachelX 31880 KachelY + 1 37770 -0.08513593 -0.46217029 -4.877929 -26.480407
    Unten rechts KachelX + 1 31881 KachelY + 1 37770 -0.08504006 -0.46217029 -4.872437 -26.480407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46208447--0.46217029) × R
    8.58199999999587e-05 × 6371000     		dl = 546.759219999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46208447--0.46217029) × R
    8.58199999999587e-05 × 6371000     		dr = 546.759219999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08513593--0.08504006) × cos(-0.46208447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895125155004995 × 6371000     		do = 546.731497296393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08513593--0.08504006) × cos(-0.46217029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895086891870931 × 6371000     		du = 546.708126642065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46208447)-sin(-0.46217029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895125155004995-0.895086891870931)×R²
    abs(-0.08504006--0.08513593)×3.8263134064076e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8263134064076e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8263134064076e-05×40589641000000     		ar = 298924.09813423m²