Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3188 / 3054
↖ ↑ ↗
← S 65.874725°
E100.195313°		 ← 3 994.54 m → S 65.874725°
E100.283203°		 →
↑
3 991.75 m
↓
↑
3 991.75 m
↓
S 65.910623°
E100.195313°		 ← 3 988.95 m →
15 934 063 m²		 S 65.910623°
E100.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7784423828125 y=0.7457275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7784423828125 × 212)
    floor (0.7784423828125 × 4096)
    floor (3188.5)     		tx = 3188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7457275390625 × 212)
    floor (0.7457275390625 × 4096)
    floor (3054.5)     		ty = 3054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3188 / 3054 ti = "12/3188/3054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3188/3054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3188 ÷ 212
    3188 ÷ 4096     		x = 0.7783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3054 ÷ 212
    3054 ÷ 4096     		y = 0.74560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7783203125 × 2 - 1) × π
    0.556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74873810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74560546875 × 2 - 1) × π
    -0.4912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54318467256885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74873810} λ = 1.74873810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54318467256885))-π/2
    2×atan(0.213699453802344)-π/2
    2×0.210532743729745-π/2
    0.42106548745949-1.57079632675     		φ = -1.14973084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74873810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.195313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14973084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.874725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3188 KachelY 3054 1.74873810 -1.14973084 100.195313 -65.874725
    Oben rechts KachelX + 1 3189 KachelY 3054 1.75027208 -1.14973084 100.283203 -65.874725
    Unten links KachelX 3188 KachelY + 1 3055 1.74873810 -1.15035739 100.195313 -65.910623
    Unten rechts KachelX + 1 3189 KachelY + 1 3055 1.75027208 -1.15035739 100.283203 -65.910623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14973084--1.15035739) × R
    0.000626550000000003 × 6371000     		dl = 3991.75005000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14973084--1.15035739) × R
    0.000626550000000003 × 6371000     		dr = 3991.75005000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74873810-1.75027208) × cos(-1.14973084) × R
    0.00153398000000005 × 0.408733105626485 × 6371000     		do = 3994.54315608948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74873810-1.75027208) × cos(-1.15035739) × R
    0.00153398000000005 × 0.40816120209893 × 6371000     		du = 3988.95395058963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14973084)-sin(-1.15035739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408733105626485-0.40816120209893)×R²
    abs(1.75027208-1.74873810)×0.000571903527555484×R²
    0.00153398000000005×0.000571903527555484×6371000²
    0.00153398000000005×0.000571903527555484×40589641000000     		ar = 15934063.0086394m²