Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31879 / 37768
↖ ↑ ↗
← S 26.470573°
W  4.883423°		 ← 546.81 m → S 26.470573°
W  4.877929°		 →
↑
546.76 m
↓
↑
546.76 m
↓
S 26.475490°
W  4.883423°		 ← 546.79 m →
298 968 m²		 S 26.475490°
W  4.877929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486442565917969 y=0.576301574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486442565917969 × 216)
    floor (0.486442565917969 × 65536)
    floor (31879.5)     		tx = 31879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576301574707031 × 216)
    floor (0.576301574707031 × 65536)
    floor (37768.5)     		ty = 37768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31879 / 37768 ti = "16/31879/37768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31879/37768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31879 ÷ 216
    31879 ÷ 65536     		x = 0.486434936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37768 ÷ 216
    37768 ÷ 65536     		y = 0.5762939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486434936523438 × 2 - 1) × π
    -0.027130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08523181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5762939453125 × 2 - 1) × π
    -0.152587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.479368996200562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08523181} λ = -0.08523181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479368996200562))-π/2
    2×atan(0.619173969692505)-π/2
    2×0.554398836338565-π/2
    1.10879767267713-1.57079632675     		φ = -0.46199865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08523181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.883423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46199865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.470573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31879 KachelY 37768 -0.08523181 -0.46199865 -4.883423 -26.470573
    Oben rechts KachelX + 1 31880 KachelY 37768 -0.08513593 -0.46199865 -4.877929 -26.470573
    Unten links KachelX 31879 KachelY + 1 37769 -0.08523181 -0.46208447 -4.883423 -26.475490
    Unten rechts KachelX + 1 31880 KachelY + 1 37769 -0.08513593 -0.46208447 -4.877929 -26.475490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46199865--0.46208447) × R
    8.58200000000142e-05 × 6371000     		dl = 546.759220000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46199865--0.46208447) × R
    8.58200000000142e-05 × 6371000     		dr = 546.759220000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08523181--0.08513593) × cos(-0.46199865) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.895163411546397 × 6371000     		do = 546.811894785003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08523181--0.08513593) × cos(-0.46208447) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.895125155004995 × 6371000     		du = 546.788525720068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46199865)-sin(-0.46208447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895163411546397-0.895125155004995)×R²
    abs(-0.08513593--0.08523181)×3.82565414024372e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.82565414024372e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.82565414024372e-05×40589641000000     		ar = 298968.056637167m²