Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31879 / 13687
↖ ↑ ↗
← N 71.761911°
W  4.883423°		 ← 191.18 m → N 71.761911°
W  4.877929°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
N 71.760191°
W  4.883423°		 ← 191.19 m →
36 553 m²		 N 71.760191°
W  4.877929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486442565917969 y=0.208854675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486442565917969 × 216)
    floor (0.486442565917969 × 65536)
    floor (31879.5)     		tx = 31879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208854675292969 × 216)
    floor (0.208854675292969 × 65536)
    floor (13687.5)     		ty = 13687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31879 / 13687 ti = "16/31879/13687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31879/13687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31879 ÷ 216
    31879 ÷ 65536     		x = 0.486434936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13687 ÷ 216
    13687 ÷ 65536     		y = 0.208847045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486434936523438 × 2 - 1) × π
    -0.027130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08523181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208847045898438 × 2 - 1) × π
    0.582305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82936796330058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08523181} λ = -0.08523181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82936796330058))-π/2
    2×atan(6.22994785824081)-π/2
    2×1.4116389724971-π/2
    2.82327794499419-1.57079632675     		φ = 1.25248162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08523181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.883423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25248162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.761911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31879 KachelY 13687 -0.08523181 1.25248162 -4.883423 71.761911
    Oben rechts KachelX + 1 31880 KachelY 13687 -0.08513593 1.25248162 -4.877929 71.761911
    Unten links KachelX 31879 KachelY + 1 13688 -0.08523181 1.25245161 -4.883423 71.760191
    Unten rechts KachelX + 1 31880 KachelY + 1 13688 -0.08513593 1.25245161 -4.877929 71.760191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25248162-1.25245161) × R
    3.00099999999137e-05 × 6371000     		dl = 191.19370999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25248162-1.25245161) × R
    3.00099999999137e-05 × 6371000     		dr = 191.19370999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08523181--0.08513593) × cos(1.25248162) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.312966374655306 × 6371000     		do = 191.175973148441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08523181--0.08513593) × cos(1.25245161) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.312994876938216 × 6371000     		du = 191.19338381014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25248162)-sin(1.25245161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312966374655306-0.312994876938216)×R²
    abs(-0.08513593--0.08523181)×2.85022829100701e-05×R²
    9.58800000000065e-05×2.85022829100701e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×2.85022829100701e-05×40589641000000     		ar = 36553.307976057m²