Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31878 / 37646
↖ ↑ ↗
← S 25.869109°
W  4.888916°		 ← 549.58 m → S 25.869109°
W  4.883423°		 →
↑
549.63 m
↓
↑
549.63 m
↓
S 25.874052°
W  4.888916°		 ← 549.56 m →
302 059 m²		 S 25.874052°
W  4.883423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486427307128906 y=0.574440002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486427307128906 × 216)
    floor (0.486427307128906 × 65536)
    floor (31878.5)     		tx = 31878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574440002441406 × 216)
    floor (0.574440002441406 × 65536)
    floor (37646.5)     		ty = 37646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31878 / 37646 ti = "16/31878/37646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31878/37646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31878 ÷ 216
    31878 ÷ 65536     		x = 0.486419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37646 ÷ 216
    37646 ÷ 65536     		y = 0.574432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.02716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08532768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.14886474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.467672392693268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08532768} λ = -0.08532768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467672392693268))-π/2
    2×atan(0.626458722498257)-π/2
    2×0.559647596687701-π/2
    1.1192951933754-1.57079632675     		φ = -0.45150113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08532768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.888916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45150113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.869109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31878 KachelY 37646 -0.08532768 -0.45150113 -4.888916 -25.869109
    Oben rechts KachelX + 1 31879 KachelY 37646 -0.08523181 -0.45150113 -4.883423 -25.869109
    Unten links KachelX 31878 KachelY + 1 37647 -0.08532768 -0.45158740 -4.888916 -25.874052
    Unten rechts KachelX + 1 31879 KachelY + 1 37647 -0.08523181 -0.45158740 -4.883423 -25.874052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45150113--0.45158740) × R
    8.62700000000549e-05 × 6371000     		dl = 549.62617000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45150113--0.45158740) × R
    8.62700000000549e-05 × 6371000     		dr = 549.62617000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08532768--0.08523181) × cos(-0.45150113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.899793148256046 × 6371000     		do = 549.582650484577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08532768--0.08523181) × cos(-0.45158740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.899755503863289 × 6371000     		du = 549.559657749872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45150113)-sin(-0.45158740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899793148256046-0.899755503863289)×R²
    abs(-0.08523181--0.08532768)×3.7644392757108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7644392757108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7644392757108e-05×40589641000000     		ar = 302058.68876749m²