Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31878 / 13690
↖ ↑ ↗
← N 71.756752°
W  4.888916°		 ← 191.21 m → N 71.756752°
W  4.883423°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
N 71.755033°
W  4.888916°		 ← 191.23 m →
36 559 m²		 N 71.755033°
W  4.883423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486427307128906 y=0.208900451660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486427307128906 × 216)
    floor (0.486427307128906 × 65536)
    floor (31878.5)     		tx = 31878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208900451660156 × 216)
    floor (0.208900451660156 × 65536)
    floor (13690.5)     		ty = 13690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31878 / 13690 ti = "16/31878/13690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31878/13690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31878 ÷ 216
    31878 ÷ 65536     		x = 0.486419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13690 ÷ 216
    13690 ÷ 65536     		y = 0.208892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.02716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08532768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208892822265625 × 2 - 1) × π
    0.58221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82908034190286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08532768} λ = -0.08532768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82908034190286))-π/2
    2×atan(6.22815624959494)-π/2
    2×1.41159395843583-π/2
    2.82318791687166-1.57079632675     		φ = 1.25239159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08532768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.888916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25239159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.756752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31878 KachelY 13690 -0.08532768 1.25239159 -4.888916 71.756752
    Oben rechts KachelX + 1 31879 KachelY 13690 -0.08523181 1.25239159 -4.883423 71.756752
    Unten links KachelX 31878 KachelY + 1 13691 -0.08532768 1.25236158 -4.888916 71.755033
    Unten rechts KachelX + 1 31879 KachelY + 1 13691 -0.08523181 1.25236158 -4.883423 71.755033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25239159-1.25236158) × R
    3.00099999999137e-05 × 6371000     		dl = 191.19370999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25239159-1.25236158) × R
    3.00099999999137e-05 × 6371000     		dr = 191.19370999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08532768--0.08523181) × cos(1.25239159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313051880658361 × 6371000     		do = 191.208260081622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08532768--0.08523181) × cos(1.25236158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313080382095544 × 6371000     		du = 191.225668410881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25239159)-sin(1.25236158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313051880658361-0.313080382095544)×R²
    abs(-0.08523181--0.08532768)×2.85014371834147e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85014371834147e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85014371834147e-05×40589641000000     		ar = 36559.4808122256m²