Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31877 / 37549
↖ ↑ ↗
← S 25.388698°
W  4.894409°		 ← 551.86 m → S 25.388698°
W  4.888916°		 →
↑
551.86 m
↓
↑
551.86 m
↓
S 25.393661°
W  4.894409°		 ← 551.83 m →
304 538 m²		 S 25.393661°
W  4.888916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486412048339844 y=0.572959899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486412048339844 × 216)
    floor (0.486412048339844 × 65536)
    floor (31877.5)     		tx = 31877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572959899902344 × 216)
    floor (0.572959899902344 × 65536)
    floor (37549.5)     		ty = 37549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31877 / 37549 ti = "16/31877/37549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31877/37549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31877 ÷ 216
    31877 ÷ 65536     		x = 0.486404418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37549 ÷ 216
    37549 ÷ 65536     		y = 0.572952270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486404418945312 × 2 - 1) × π
    -0.027191162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08542356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572952270507812 × 2 - 1) × π
    -0.145904541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.458372634166977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08542356} λ = -0.08542356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458372634166977))-π/2
    2×atan(0.632311811316616)-π/2
    2×0.563839977040322-π/2
    1.12767995408064-1.57079632675     		φ = -0.44311637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08542356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.894409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44311637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.388698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31877 KachelY 37549 -0.08542356 -0.44311637 -4.894409 -25.388698
    Oben rechts KachelX + 1 31878 KachelY 37549 -0.08532768 -0.44311637 -4.888916 -25.388698
    Unten links KachelX 31877 KachelY + 1 37550 -0.08542356 -0.44320299 -4.894409 -25.393661
    Unten rechts KachelX + 1 31878 KachelY + 1 37550 -0.08532768 -0.44320299 -4.888916 -25.393661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44311637--0.44320299) × R
    8.66200000000372e-05 × 6371000     		dl = 551.856020000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44311637--0.44320299) × R
    8.66200000000372e-05 × 6371000     		dr = 551.856020000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08542356--0.08532768) × cos(-0.44311637) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.903419887034911 × 6371000     		do = 551.855375056666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08542356--0.08532768) × cos(-0.44320299) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.903382744720218 × 6371000     		du = 551.832686618765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44311637)-sin(-0.44320299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903419887034911-0.903382744720218)×R²
    abs(-0.08532768--0.08542356)×3.71423146923178e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.71423146923178e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.71423146923178e-05×40589641000000     		ar = 304538.450709347m²