Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31877 / 21611
↖ ↑ ↗
← N 76.114644°
W 92.447204°		 ← 73.28 m → N 76.114644°
W 92.444458°		 →
↑
73.27 m
↓
↑
73.27 m
↓
N 76.113985°
W 92.447204°		 ← 73.28 m →
5 369 m²		 N 76.113985°
W 92.444458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243206024169922 y=0.164882659912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243206024169922 × 217)
    floor (0.243206024169922 × 131072)
    floor (31877.5)     		tx = 31877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164882659912109 × 217)
    floor (0.164882659912109 × 131072)
    floor (21611.5)     		ty = 21611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31877 / 21611 ti = "17/31877/21611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31877/21611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31877 ÷ 217
    31877 ÷ 131072     		x = 0.243202209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21611 ÷ 217
    21611 ÷ 131072     		y = 0.164878845214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243202209472656 × 2 - 1) × π
    -0.513595581054688 × 3.1415926535     		Λ = -1.61350810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164878845214844 × 2 - 1) × π
    0.670242309570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.10562831581097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61350810} λ = -1.61350810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10562831581097))-π/2
    2×atan(8.21226128252149)-π/2
    2×1.44962374069669-π/2
    2.89924748139338-1.57079632675     		φ = 1.32845115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61350810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.447204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32845115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.114644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31877 KachelY 21611 -1.61350810 1.32845115 -92.447204 76.114644
    Oben rechts KachelX + 1 31878 KachelY 21611 -1.61346017 1.32845115 -92.444458 76.114644
    Unten links KachelX 31877 KachelY + 1 21612 -1.61350810 1.32843965 -92.447204 76.113985
    Unten rechts KachelX + 1 31878 KachelY + 1 21612 -1.61346017 1.32843965 -92.444458 76.113985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32845115-1.32843965) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dl = 73.2665000003385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32845115-1.32843965) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dr = 73.2665000003385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61350810--1.61346017) × cos(1.32845115) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239979929953092 × 6371000     		do = 73.2807585697787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61350810--1.61346017) × cos(1.32843965) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239991093882493 × 6371000     		du = 73.2841676099234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32845115)-sin(1.32843965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239979929953092-0.239991093882493)×R²
    abs(-1.61346017--1.61350810)×1.11639294012034e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11639294012034e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11639294012034e-05×40589641000000     		ar = 5369.14958195365m²