Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31876 / 13702
↖ ↑ ↗
← N 71.736105°
W  4.899902°		 ← 191.42 m → N 71.736105°
W  4.894409°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
N 71.734384°
W  4.899902°		 ← 191.43 m →
36 648 m²		 N 71.734384°
W  4.894409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486396789550781 y=0.209083557128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486396789550781 × 216)
    floor (0.486396789550781 × 65536)
    floor (31876.5)     		tx = 31876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209083557128906 × 216)
    floor (0.209083557128906 × 65536)
    floor (13702.5)     		ty = 13702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31876 / 13702 ti = "16/31876/13702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31876/13702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31876 ÷ 216
    31876 ÷ 65536     		x = 0.48638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13702 ÷ 216
    13702 ÷ 65536     		y = 0.209075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.0272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08551943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209075927734375 × 2 - 1) × π
    0.58184814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82792985631198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08551943} λ = -0.08551943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82792985631198))-π/2
    2×atan(6.22099496583881)-π/2
    2×1.41141377918163-π/2
    2.82282755836326-1.57079632675     		φ = 1.25203123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08551943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.899902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25203123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.736105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31876 KachelY 13702 -0.08551943 1.25203123 -4.899902 71.736105
    Oben rechts KachelX + 1 31877 KachelY 13702 -0.08542356 1.25203123 -4.894409 71.736105
    Unten links KachelX 31876 KachelY + 1 13703 -0.08551943 1.25200118 -4.899902 71.734384
    Unten rechts KachelX + 1 31877 KachelY + 1 13703 -0.08542356 1.25200118 -4.894409 71.734384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25203123-1.25200118) × R
    3.00500000001147e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25203123-1.25200118) × R
    3.00500000001147e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08551943--0.08542356) × cos(1.25203123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313394107199107 × 6371000     		do = 191.417287867279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08551943--0.08542356) × cos(1.25200118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313422643233366 × 6371000     		du = 191.434717328009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25203123)-sin(1.25200118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313394107199107-0.313422643233366)×R²
    abs(-0.08542356--0.08551943)×2.853603425923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.853603425923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.853603425923e-05×40589641000000     		ar = 36648.2306328545m²