Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31873 / 37546
↖ ↑ ↗
← S 25.373809°
W  4.916382°		 ← 551.87 m → S 25.373809°
W  4.910889°		 →
↑
551.92 m
↓
↑
551.92 m
↓
S 25.378772°
W  4.916382°		 ← 551.84 m →
304 579 m²		 S 25.378772°
W  4.910889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486351013183594 y=0.572914123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486351013183594 × 216)
    floor (0.486351013183594 × 65536)
    floor (31873.5)     		tx = 31873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572914123535156 × 216)
    floor (0.572914123535156 × 65536)
    floor (37546.5)     		ty = 37546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31873 / 37546 ti = "16/31873/37546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31873/37546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31873 ÷ 216
    31873 ÷ 65536     		x = 0.486343383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37546 ÷ 216
    37546 ÷ 65536     		y = 0.572906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486343383789062 × 2 - 1) × π
    -0.027313232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08580705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.14581298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.458085012769257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08580705} λ = -0.08580705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458085012769257))-π/2
    2×atan(0.632493703880424)-π/2
    2×0.563969906495275-π/2
    1.12793981299055-1.57079632675     		φ = -0.44285651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08580705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.916382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44285651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.373809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31873 KachelY 37546 -0.08580705 -0.44285651 -4.916382 -25.373809
    Oben rechts KachelX + 1 31874 KachelY 37546 -0.08571118 -0.44285651 -4.910889 -25.373809
    Unten links KachelX 31873 KachelY + 1 37547 -0.08580705 -0.44294314 -4.916382 -25.378772
    Unten rechts KachelX + 1 31874 KachelY + 1 37547 -0.08571118 -0.44294314 -4.910889 -25.378772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44285651--0.44294314) × R
    8.6630000000032e-05 × 6371000     		dl = 551.919730000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44285651--0.44294314) × R
    8.6630000000032e-05 × 6371000     		dr = 551.919730000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08580705--0.08571118) × cos(-0.44285651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.903531273307584 × 6371000     		do = 551.865851548788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08580705--0.08571118) × cos(-0.44294314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.903494147042868 × 6371000     		du = 551.843175280353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44285651)-sin(-0.44294314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903531273307584-0.903494147042868)×R²
    abs(-0.08571118--0.08580705)×3.71262647164139e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71262647164139e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71262647164139e-05×40589641000000     		ar = 304579.39423348m²