Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31872 / 37543
↖ ↑ ↗
← S 25.358918°
W  4.921875°		 ← 551.93 m → S 25.358918°
W  4.916382°		 →
↑
551.98 m
↓
↑
551.98 m
↓
S 25.363882°
W  4.921875°		 ← 551.91 m →
304 652 m²		 S 25.363882°
W  4.916382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486335754394531 y=0.572868347167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486335754394531 × 216)
    floor (0.486335754394531 × 65536)
    floor (31872.5)     		tx = 31872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572868347167969 × 216)
    floor (0.572868347167969 × 65536)
    floor (37543.5)     		ty = 37543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31872 / 37543 ti = "16/31872/37543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31872/37543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31872 ÷ 216
    31872 ÷ 65536     		x = 0.486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37543 ÷ 216
    37543 ÷ 65536     		y = 0.572860717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486328125 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572860717773438 × 2 - 1) × π
    -0.145721435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.457797391371536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08590292} λ = -0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.457797391371536))-π/2
    2×atan(0.632675648767951)-π/2
    2×0.564099851965298-π/2
    1.1281997039306-1.57079632675     		φ = -0.44259662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44259662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.358918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31872 KachelY 37543 -0.08590292 -0.44259662 -4.921875 -25.358918
    Oben rechts KachelX + 1 31873 KachelY 37543 -0.08580705 -0.44259662 -4.916382 -25.358918
    Unten links KachelX 31872 KachelY + 1 37544 -0.08590292 -0.44268326 -4.921875 -25.363882
    Unten rechts KachelX + 1 31873 KachelY + 1 37544 -0.08580705 -0.44268326 -4.916382 -25.363882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44259662--0.44268326) × R
    8.66400000000267e-05 × 6371000     		dl = 551.98344000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44259662--0.44268326) × R
    8.66400000000267e-05 × 6371000     		dr = 551.98344000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08590292--0.08580705) × cos(-0.44259662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.903642611415924 × 6371000     		do = 551.933855503697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08590292--0.08580705) × cos(-0.44268326) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.903605501210735 × 6371000     		du = 551.911189044225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44259662)-sin(-0.44268326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903642611415924-0.903605501210735)×R²
    abs(-0.08580705--0.08590292)×3.71102051891503e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71102051891503e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71102051891503e-05×40589641000000     		ar = 304652.092649047m²