Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31871 / 37545
↖ ↑ ↗
← S 25.368846°
W  4.927368°		 ← 551.95 m → S 25.368846°
W  4.921875°		 →
↑
551.86 m
↓
↑
551.86 m
↓
S 25.373809°
W  4.927368°		 ← 551.92 m →
304 589 m²		 S 25.373809°
W  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486320495605469 y=0.572898864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486320495605469 × 216)
    floor (0.486320495605469 × 65536)
    floor (31871.5)     		tx = 31871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572898864746094 × 216)
    floor (0.572898864746094 × 65536)
    floor (37545.5)     		ty = 37545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31871 / 37545 ti = "16/31871/37545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31871/37545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31871 ÷ 216
    31871 ÷ 65536     		x = 0.486312866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37545 ÷ 216
    37545 ÷ 65536     		y = 0.572891235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486312866210938 × 2 - 1) × π
    -0.027374267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08599880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572891235351562 × 2 - 1) × π
    -0.145782470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.457989138970016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08599880} λ = -0.08599880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.457989138970016))-π/2
    2×atan(0.632554346361777)-π/2
    2×0.564013219872833-π/2
    1.12802643974567-1.57079632675     		φ = -0.44276989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08599880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.927368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44276989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.368846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31871 KachelY 37545 -0.08599880 -0.44276989 -4.927368 -25.368846
    Oben rechts KachelX + 1 31872 KachelY 37545 -0.08590292 -0.44276989 -4.921875 -25.368846
    Unten links KachelX 31871 KachelY + 1 37546 -0.08599880 -0.44285651 -4.927368 -25.373809
    Unten rechts KachelX + 1 31872 KachelY + 1 37546 -0.08590292 -0.44285651 -4.921875 -25.373809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44276989--0.44285651) × R
    8.66199999999817e-05 × 6371000     		dl = 551.856019999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44276989--0.44285651) × R
    8.66199999999817e-05 × 6371000     		dr = 551.856019999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08599880--0.08590292) × cos(-0.44276989) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.903568388507079 × 6371000     		do = 551.946087400802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08599880--0.08590292) × cos(-0.44285651) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.903531273307584 × 6371000     		du = 551.92341552626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44276989)-sin(-0.44285651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903568388507079-0.903531273307584)×R²
    abs(-0.08590292--0.08599880)×3.71151994948971e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.71151994948971e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.71151994948971e-05×40589641000000     		ar = 304588.51543293m²