Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3187 / 5102
↖ ↑ ↗
← S 40.380029°
W 39.946289°		 ← 3 722.36 m → S 40.380029°
W 39.902344°		 →
↑
3 721.43 m
↓
↑
3 721.43 m
↓
S 40.413496°
W 39.946289°		 ← 3 720.51 m →
13 849 038 m²		 S 40.413496°
W 39.902344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38909912109375 y=0.62286376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38909912109375 × 213)
    floor (0.38909912109375 × 8192)
    floor (3187.5)     		tx = 3187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62286376953125 × 213)
    floor (0.62286376953125 × 8192)
    floor (5102.5)     		ty = 5102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3187 / 5102 ti = "13/3187/5102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3187/5102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3187 ÷ 213
    3187 ÷ 8192     		x = 0.3890380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5102 ÷ 213
    5102 ÷ 8192     		y = 0.622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.221923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.69719427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.24560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.771592336284424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69719427} λ = -0.69719427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771592336284424))-π/2
    2×atan(0.462276382483838)-π/2
    2×0.433015939569519-π/2
    0.866031879139039-1.57079632675     		φ = -0.70476445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69719427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.946289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70476445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.380029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3187 KachelY 5102 -0.69719427 -0.70476445 -39.946289 -40.380029
    Oben rechts KachelX + 1 3188 KachelY 5102 -0.69642728 -0.70476445 -39.902344 -40.380029
    Unten links KachelX 3187 KachelY + 1 5103 -0.69719427 -0.70534857 -39.946289 -40.413496
    Unten rechts KachelX + 1 3188 KachelY + 1 5103 -0.69642728 -0.70534857 -39.902344 -40.413496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70476445--0.70534857) × R
    0.000584119999999966 × 6371000     		dl = 3721.42851999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70476445--0.70534857) × R
    0.000584119999999966 × 6371000     		dr = 3721.42851999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69719427--0.69642728) × cos(-0.70476445) × R
    0.000766990000000023 × 0.761764175000645 × 6371000     		do = 3722.35552970315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69719427--0.69642728) × cos(-0.70534857) × R
    0.000766990000000023 × 0.761385620346375 × 6371000     		du = 3720.50572492516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70476445)-sin(-0.70534857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761764175000645-0.761385620346375)×R²
    abs(-0.69642728--0.69719427)×0.000378554654269392×R²
    0.000766990000000023×0.000378554654269392×6371000²
    0.000766990000000023×0.000378554654269392×40589641000000     		ar = 13849038.465459m²