Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31869 / 19587
↖ ↑ ↗
← N 77.387705°
W 92.469177°		 ← 66.69 m → N 77.387705°
W 92.466431°		 →
↑
66.70 m
↓
↑
66.70 m
↓
N 77.387105°
W 92.469177°		 ← 66.69 m →
4 449 m²		 N 77.387105°
W 92.466431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243144989013672 y=0.149440765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243144989013672 × 217)
    floor (0.243144989013672 × 131072)
    floor (31869.5)     		tx = 31869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149440765380859 × 217)
    floor (0.149440765380859 × 131072)
    floor (19587.5)     		ty = 19587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31869 / 19587 ti = "17/31869/19587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31869/19587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31869 ÷ 217
    31869 ÷ 131072     		x = 0.243141174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19587 ÷ 217
    19587 ÷ 131072     		y = 0.149436950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243141174316406 × 2 - 1) × π
    -0.513717651367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.61389160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149436950683594 × 2 - 1) × π
    0.701126098632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.20265260064196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61389160} λ = -1.61389160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20265260064196))-π/2
    2×atan(9.04898503543643)-π/2
    2×1.46073328945789-π/2
    2.92146657891578-1.57079632675     		φ = 1.35067025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61389160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.469177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35067025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.387705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31869 KachelY 19587 -1.61389160 1.35067025 -92.469177 77.387705
    Oben rechts KachelX + 1 31870 KachelY 19587 -1.61384366 1.35067025 -92.466431 77.387705
    Unten links KachelX 31869 KachelY + 1 19588 -1.61389160 1.35065978 -92.469177 77.387105
    Unten rechts KachelX + 1 31870 KachelY + 1 19588 -1.61384366 1.35065978 -92.466431 77.387105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35067025-1.35065978) × R
    1.04700000000957e-05 × 6371000     		dl = 66.7043700006096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35067025-1.35065978) × R
    1.04700000000957e-05 × 6371000     		dr = 66.7043700006096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61389160--1.61384366) × cos(1.35067025) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.218352659368684 × 6371000     		do = 66.6905225689133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61389160--1.61384366) × cos(1.35065978) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.218362876714861 × 6371000     		du = 66.6936432094302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35067025)-sin(1.35065978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218352659368684-0.218362876714861)×R²
    abs(-1.61384366--1.61389160)×1.0217346176844e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.0217346176844e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.0217346176844e-05×40589641000000     		ar = 4448.65337316469m²