Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31868 / 37640
↖ ↑ ↗
← S 25.839449°
W  4.943848°		 ← 549.72 m → S 25.839449°
W  4.938355°		 →
↑
549.75 m
↓
↑
549.75 m
↓
S 25.844394°
W  4.943848°		 ← 549.70 m →
302 205 m²		 S 25.844394°
W  4.938355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486274719238281 y=0.574348449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486274719238281 × 216)
    floor (0.486274719238281 × 65536)
    floor (31868.5)     		tx = 31868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574348449707031 × 216)
    floor (0.574348449707031 × 65536)
    floor (37640.5)     		ty = 37640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31868 / 37640 ti = "16/31868/37640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31868/37640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31868 ÷ 216
    31868 ÷ 65536     		x = 0.48626708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37640 ÷ 216
    37640 ÷ 65536     		y = 0.5743408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.0274658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08628642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5743408203125 × 2 - 1) × π
    -0.148681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.467097149897827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08628642} λ = -0.08628642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467097149897827))-π/2
    2×atan(0.626819192033827)-π/2
    2×0.559906428919215-π/2
    1.11981285783843-1.57079632675     		φ = -0.45098347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08628642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.943848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45098347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.839449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31868 KachelY 37640 -0.08628642 -0.45098347 -4.943848 -25.839449
    Oben rechts KachelX + 1 31869 KachelY 37640 -0.08619055 -0.45098347 -4.938355 -25.839449
    Unten links KachelX 31868 KachelY + 1 37641 -0.08628642 -0.45106976 -4.943848 -25.844394
    Unten rechts KachelX + 1 31869 KachelY + 1 37641 -0.08619055 -0.45106976 -4.938355 -25.844394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45098347--0.45106976) × R
    8.62899999999889e-05 × 6371000     		dl = 549.753589999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45098347--0.45106976) × R
    8.62899999999889e-05 × 6371000     		dr = 549.753589999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08628642--0.08619055) × cos(-0.45098347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900018891405658 × 6371000     		do = 549.720531639522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08628642--0.08619055) × cos(-0.45106976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.899981278481969 × 6371000     		du = 549.697558125739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45098347)-sin(-0.45106976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900018891405658-0.899981278481969)×R²
    abs(-0.08619055--0.08628642)×3.76129236887568e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76129236887568e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76129236887568e-05×40589641000000     		ar = 302204.521067228m²