Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31867 / 37641
↖ ↑ ↗
← S 25.844394°
W  4.949341°		 ← 549.70 m → S 25.844394°
W  4.943848°		 →
↑
549.69 m
↓
↑
549.69 m
↓
S 25.849337°
W  4.949341°		 ← 549.67 m →
302 157 m²		 S 25.849337°
W  4.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486259460449219 y=0.574363708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486259460449219 × 216)
    floor (0.486259460449219 × 65536)
    floor (31867.5)     		tx = 31867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574363708496094 × 216)
    floor (0.574363708496094 × 65536)
    floor (37641.5)     		ty = 37641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31867 / 37641 ti = "16/31867/37641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31867/37641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31867 ÷ 216
    31867 ÷ 65536     		x = 0.486251831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37641 ÷ 216
    37641 ÷ 65536     		y = 0.574356079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486251831054688 × 2 - 1) × π
    -0.027496337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08638229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574356079101562 × 2 - 1) × π
    -0.148712158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.467193023697067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08638229} λ = -0.08638229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467193023697067))-π/2
    2×atan(0.626759099377152)-π/2
    2×0.559863285705405-π/2
    1.11972657141081-1.57079632675     		φ = -0.45106976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08638229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.949341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45106976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.844394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31867 KachelY 37641 -0.08638229 -0.45106976 -4.949341 -25.844394
    Oben rechts KachelX + 1 31868 KachelY 37641 -0.08628642 -0.45106976 -4.943848 -25.844394
    Unten links KachelX 31867 KachelY + 1 37642 -0.08638229 -0.45115604 -4.949341 -25.849337
    Unten rechts KachelX + 1 31868 KachelY + 1 37642 -0.08628642 -0.45115604 -4.943848 -25.849337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45106976--0.45115604) × R
    8.62799999999941e-05 × 6371000     		dl = 549.689879999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45106976--0.45115604) × R
    8.62799999999941e-05 × 6371000     		dr = 549.689879999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08638229--0.08628642) × cos(-0.45106976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.899981278481969 × 6371000     		do = 549.697558125739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08638229--0.08628642) × cos(-0.45115604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.899943663217114 × 6371000     		du = 549.674583182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45106976)-sin(-0.45115604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899981278481969-0.899943663217114)×R²
    abs(-0.08628642--0.08638229)×3.76152648550176e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76152648550176e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76152648550176e-05×40589641000000     		ar = 302156.870402922m²