Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 31866 / 19598
↖ ↑ ↗
← N 77.381106°
W 92.477417°		 ← 66.72 m → N 77.381106°
W 92.474670°		 →
↑
66.70 m
↓
↑
66.70 m
↓
N 77.380506°
W 92.477417°		 ← 66.73 m →
4 451 m²		 N 77.380506°
W 92.474670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243122100830078 y=0.149524688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243122100830078 × 217)
    floor (0.243122100830078 × 131072)
    floor (31866.5)     		tx = 31866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149524688720703 × 217)
    floor (0.149524688720703 × 131072)
    floor (19598.5)     		ty = 19598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31866 / 19598 ti = "17/31866/19598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31866/19598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31866 ÷ 217
    31866 ÷ 131072     		x = 0.243118286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19598 ÷ 217
    19598 ÷ 131072     		y = 0.149520874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243118286132812 × 2 - 1) × π
    -0.513763427734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.61403541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149520874023438 × 2 - 1) × π
    0.700958251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20212529474614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61403541} λ = -1.61403541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20212529474614))-π/2
    2×atan(9.04421471009692)-π/2
    2×1.46067570532163-π/2
    2.92135141064326-1.57079632675     		φ = 1.35055508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61403541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.477417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35055508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.381106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31866 KachelY 19598 -1.61403541 1.35055508 -92.477417 77.381106
    Oben rechts KachelX + 1 31867 KachelY 19598 -1.61398747 1.35055508 -92.474670 77.381106
    Unten links KachelX 31866 KachelY + 1 19599 -1.61403541 1.35054461 -92.477417 77.380506
    Unten rechts KachelX + 1 31867 KachelY + 1 19599 -1.61398747 1.35054461 -92.474670 77.380506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35055508-1.35054461) × R
    1.04699999998736e-05 × 6371000     		dl = 66.7043699991949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35055508-1.35054461) × R
    1.04699999998736e-05 × 6371000     		dr = 66.7043699991949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61403541--1.61398747) × cos(1.35055508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218465048859901 × 6371000     		do = 66.7248492121276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61403541--1.61398747) × cos(1.35054461) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218475265942707 × 6371000     		du = 66.7279697722044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35055508)-sin(1.35054461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218465048859901-0.218475265942707)×R²
    abs(-1.61398747--1.61403541)×1.02170828065462e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02170828065462e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02170828065462e-05×40589641000000     		ar = 4450.94310762813m²