Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31864 / 37634
↖ ↑ ↗
← S 25.809782°
W  4.965820°		 ← 549.86 m → S 25.809782°
W  4.960327°		 →
↑
549.88 m
↓
↑
549.88 m
↓
S 25.814727°
W  4.965820°		 ← 549.84 m →
302 350 m²		 S 25.814727°
W  4.960327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486213684082031 y=0.574256896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486213684082031 × 216)
    floor (0.486213684082031 × 65536)
    floor (31864.5)     		tx = 31864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574256896972656 × 216)
    floor (0.574256896972656 × 65536)
    floor (37634.5)     		ty = 37634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31864 / 37634 ti = "16/31864/37634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31864/37634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31864 ÷ 216
    31864 ÷ 65536     		x = 0.4862060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37634 ÷ 216
    37634 ÷ 65536     		y = 0.574249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4862060546875 × 2 - 1) × π
    -0.027587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08666991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.14849853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.466521907102387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08666991} λ = -0.08666991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466521907102387))-π/2
    2×atan(0.627179868986552)-π/2
    2×0.560165326053299-π/2
    1.1203306521066-1.57079632675     		φ = -0.45046567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08666991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45046567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.809782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31864 KachelY 37634 -0.08666991 -0.45046567 -4.965820 -25.809782
    Oben rechts KachelX + 1 31865 KachelY 37634 -0.08657404 -0.45046567 -4.960327 -25.809782
    Unten links KachelX 31864 KachelY + 1 37635 -0.08666991 -0.45055198 -4.965820 -25.814727
    Unten rechts KachelX + 1 31865 KachelY + 1 37635 -0.08657404 -0.45055198 -4.960327 -25.814727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45046567--0.45055198) × R
    8.63100000000339e-05 × 6371000     		dl = 549.881010000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45046567--0.45055198) × R
    8.63100000000339e-05 × 6371000     		dr = 549.881010000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08666991--0.08657404) × cos(-0.45046567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900244454329406 × 6371000     		do = 549.858302714713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08666991--0.08657404) × cos(-0.45055198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900206872914378 × 6371000     		du = 549.835348446034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45046567)-sin(-0.45055198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900244454329406-0.900206872914378)×R²
    abs(-0.08657404--0.08666991)×3.75814150282983e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75814150282983e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75814150282983e-05×40589641000000     		ar = 302350.327983379m²