Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31864 / 21639
↖ ↑ ↗
← N 76.096177°
W 92.482910°		 ← 73.38 m → N 76.096177°
W 92.480164°		 →
↑
73.39 m
↓
↑
73.39 m
↓
N 76.095517°
W 92.482910°		 ← 73.38 m →
5 385 m²		 N 76.095517°
W 92.480164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243106842041016 y=0.165096282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243106842041016 × 217)
    floor (0.243106842041016 × 131072)
    floor (31864.5)     		tx = 31864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165096282958984 × 217)
    floor (0.165096282958984 × 131072)
    floor (21639.5)     		ty = 21639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31864 / 21639 ti = "17/31864/21639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31864/21639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31864 ÷ 217
    31864 ÷ 131072     		x = 0.24310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21639 ÷ 217
    21639 ÷ 131072     		y = 0.165092468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.5137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.61413128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165092468261719 × 2 - 1) × π
    0.669815063476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.1042860826216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61413128} λ = -1.61413128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1042860826216))-π/2
    2×atan(8.20124590712337)-π/2
    2×1.44946258121567-π/2
    2.89892516243133-1.57079632675     		φ = 1.32812884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61413128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.482910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32812884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.096177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31864 KachelY 21639 -1.61413128 1.32812884 -92.482910 76.096177
    Oben rechts KachelX + 1 31865 KachelY 21639 -1.61408335 1.32812884 -92.480164 76.096177
    Unten links KachelX 31864 KachelY + 1 21640 -1.61413128 1.32811732 -92.482910 76.095517
    Unten rechts KachelX + 1 31865 KachelY + 1 21640 -1.61408335 1.32811732 -92.480164 76.095517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32812884-1.32811732) × R
    1.15199999999316e-05 × 6371000     		dl = 73.3939199995641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32812884-1.32811732) × R
    1.15199999999316e-05 × 6371000     		dr = 73.3939199995641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61413128--1.61408335) × cos(1.32812884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.240292808891364 × 6371000     		do = 73.3762999175139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61413128--1.61408335) × cos(1.32811732) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.240303991344617 × 6371000     		du = 73.3797146141396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32812884)-sin(1.32811732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240292808891364-0.240303991344617)×R²
    abs(-1.61408335--1.61413128)×1.11824532530447e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11824532530447e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11824532530447e-05×40589641000000     		ar = 5385.49959509691m²