Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31863 / 37633
↖ ↑ ↗
← S 25.804837°
W  4.971314°		 ← 549.94 m → S 25.804837°
W  4.965820°		 →
↑
549.88 m
↓
↑
549.88 m
↓
S 25.809782°
W  4.971314°		 ← 549.92 m →
302 394 m²		 S 25.809782°
W  4.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486198425292969 y=0.574241638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486198425292969 × 216)
    floor (0.486198425292969 × 65536)
    floor (31863.5)     		tx = 31863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574241638183594 × 216)
    floor (0.574241638183594 × 65536)
    floor (37633.5)     		ty = 37633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31863 / 37633 ti = "16/31863/37633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31863/37633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31863 ÷ 216
    31863 ÷ 65536     		x = 0.486190795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37633 ÷ 216
    37633 ÷ 65536     		y = 0.574234008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486190795898438 × 2 - 1) × π
    -0.027618408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08676579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574234008789062 × 2 - 1) × π
    -0.148468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.466426033303146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08676579} λ = -0.08676579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466426033303146))-π/2
    2×atan(0.627240001985942)-π/2
    2×0.560208481881887-π/2
    1.12041696376377-1.57079632675     		φ = -0.45037936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08676579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.971314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45037936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.804837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31863 KachelY 37633 -0.08676579 -0.45037936 -4.971314 -25.804837
    Oben rechts KachelX + 1 31864 KachelY 37633 -0.08666991 -0.45037936 -4.965820 -25.804837
    Unten links KachelX 31863 KachelY + 1 37634 -0.08676579 -0.45046567 -4.971314 -25.809782
    Unten rechts KachelX + 1 31864 KachelY + 1 37634 -0.08666991 -0.45046567 -4.965820 -25.809782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45037936--0.45046567) × R
    8.63099999999783e-05 × 6371000     		dl = 549.881009999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45037936--0.45046567) × R
    8.63099999999783e-05 × 6371000     		dr = 549.881009999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08676579--0.08666991) × cos(-0.45037936) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.900282029038139 × 6371000     		do = 549.938609855308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08676579--0.08666991) × cos(-0.45046567) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.900244454329406 × 6371000     		du = 549.915657288868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45037936)-sin(-0.45046567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900282029038139-0.900244454329406)×R²
    abs(-0.08666991--0.08676579)×3.75747087327793e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.75747087327793e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.75747087327793e-05×40589641000000     		ar = 302394.48782257m²