Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31863 / 21625
↖ ↑ ↗
← N 76.105414°
W 92.485657°		 ← 73.34 m → N 76.105414°
W 92.482910°		 →
↑
73.33 m
↓
↑
73.33 m
↓
N 76.104754°
W 92.485657°		 ← 73.35 m →
5 378 m²		 N 76.104754°
W 92.482910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243099212646484 y=0.164989471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243099212646484 × 217)
    floor (0.243099212646484 × 131072)
    floor (31863.5)     		tx = 31863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164989471435547 × 217)
    floor (0.164989471435547 × 131072)
    floor (21625.5)     		ty = 21625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31863 / 21625 ti = "17/31863/21625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31863/21625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31863 ÷ 217
    31863 ÷ 131072     		x = 0.243095397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21625 ÷ 217
    21625 ÷ 131072     		y = 0.164985656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243095397949219 × 2 - 1) × π
    -0.513809204101562 × 3.1415926535     		Λ = -1.61417922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164985656738281 × 2 - 1) × π
    0.670028686523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.10495719921629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61417922} λ = -1.61417922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10495719921629))-π/2
    2×atan(8.20675174667219)-π/2
    2×1.44954318720419-π/2
    2.89908637440838-1.57079632675     		φ = 1.32829005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61417922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.485657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32829005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.105414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31863 KachelY 21625 -1.61417922 1.32829005 -92.485657 76.105414
    Oben rechts KachelX + 1 31864 KachelY 21625 -1.61413128 1.32829005 -92.482910 76.105414
    Unten links KachelX 31863 KachelY + 1 21626 -1.61417922 1.32827854 -92.485657 76.104754
    Unten rechts KachelX + 1 31864 KachelY + 1 21626 -1.61413128 1.32827854 -92.482910 76.104754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32829005-1.32827854) × R
    1.15100000002144e-05 × 6371000     		dl = 73.330210001366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32829005-1.32827854) × R
    1.15100000002144e-05 × 6371000     		dr = 73.330210001366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61417922--1.61413128) × cos(1.32829005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240136319149856 × 6371000     		do = 73.3438129771729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61417922--1.61413128) × cos(1.32827854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240147492341868 × 6371000     		du = 73.3472255576112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32829005)-sin(1.32827854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240136319149856-0.240147492341868)×R²
    abs(-1.61413128--1.61417922)×1.11731920114932e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11731920114932e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11731920114932e-05×40589641000000     		ar = 5378.44233058682m²