Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31856 / 37904
↖ ↑ ↗
← S 27.137368°
W  5.009765°		 ← 543.55 m → S 27.137368°
W  5.004272°		 →
↑
543.57 m
↓
↑
543.57 m
↓
S 27.142257°
W  5.009765°		 ← 543.53 m →
295 453 m²		 S 27.142257°
W  5.004272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486091613769531 y=0.578376770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486091613769531 × 216)
    floor (0.486091613769531 × 65536)
    floor (31856.5)     		tx = 31856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578376770019531 × 216)
    floor (0.578376770019531 × 65536)
    floor (37904.5)     		ty = 37904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31856 / 37904 ti = "16/31856/37904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31856/37904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31856 ÷ 216
    31856 ÷ 65536     		x = 0.486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37904 ÷ 216
    37904 ÷ 65536     		y = 0.578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.02783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08743690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.15673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.492407832897217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08743690} λ = -0.08743690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.492407832897217))-π/2
    2×atan(0.611153066673841)-π/2
    2×0.548579949301228-π/2
    1.09715989860246-1.57079632675     		φ = -0.47363643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08743690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.009765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47363643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.137368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31856 KachelY 37904 -0.08743690 -0.47363643 -5.009765 -27.137368
    Oben rechts KachelX + 1 31857 KachelY 37904 -0.08734103 -0.47363643 -5.004272 -27.137368
    Unten links KachelX 31856 KachelY + 1 37905 -0.08743690 -0.47372175 -5.009765 -27.142257
    Unten rechts KachelX + 1 31857 KachelY + 1 37905 -0.08734103 -0.47372175 -5.004272 -27.142257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47363643--0.47372175) × R
    8.53199999999998e-05 × 6371000     		dl = 543.573719999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47363643--0.47372175) × R
    8.53199999999998e-05 × 6371000     		dr = 543.573719999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08743690--0.08734103) × cos(-0.47363643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.889915507675197 × 6371000     		do = 543.549508421339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08743690--0.08734103) × cos(-0.47372175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.889876587816233 × 6371000     		du = 543.525736647475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47363643)-sin(-0.47372175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889915507675197-0.889876587816233)×R²
    abs(-0.08734103--0.08743690)×3.89198589630935e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89198589630935e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89198589630935e-05×40589641000000     		ar = 295452.767620183m²