Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31854 / 37907
↖ ↑ ↗
← S 27.152033°
W  5.020752°		 ← 543.48 m → S 27.152033°
W  5.015259°		 →
↑
543.51 m
↓
↑
543.51 m
↓
S 27.156921°
W  5.020752°		 ← 543.45 m →
295 379 m²		 S 27.156921°
W  5.015259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486061096191406 y=0.578422546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486061096191406 × 216)
    floor (0.486061096191406 × 65536)
    floor (31854.5)     		tx = 31854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578422546386719 × 216)
    floor (0.578422546386719 × 65536)
    floor (37907.5)     		ty = 37907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31854 / 37907 ti = "16/31854/37907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31854/37907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31854 ÷ 216
    31854 ÷ 65536     		x = 0.486053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37907 ÷ 216
    37907 ÷ 65536     		y = 0.578414916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486053466796875 × 2 - 1) × π
    -0.02789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08762865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578414916992188 × 2 - 1) × π
    -0.156829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.492695454294937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08762865} λ = -0.08762865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.492695454294937))-π/2
    2×atan(0.610977311251305)-π/2
    2×0.548451978325952-π/2
    1.0969039566519-1.57079632675     		φ = -0.47389237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08762865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47389237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.152033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31854 KachelY 37907 -0.08762865 -0.47389237 -5.020752 -27.152033
    Oben rechts KachelX + 1 31855 KachelY 37907 -0.08753278 -0.47389237 -5.015259 -27.152033
    Unten links KachelX 31854 KachelY + 1 37908 -0.08762865 -0.47397768 -5.020752 -27.156921
    Unten rechts KachelX + 1 31855 KachelY + 1 37908 -0.08753278 -0.47397768 -5.015259 -27.156921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47389237--0.47397768) × R
    8.53100000000051e-05 × 6371000     		dl = 543.510010000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47389237--0.47397768) × R
    8.53100000000051e-05 × 6371000     		dr = 543.510010000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08762865--0.08753278) × cos(-0.47389237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.889798737792078 × 6371000     		do = 543.478186804826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08762865--0.08753278) × cos(-0.47397768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.889759803066198 × 6371000     		du = 543.45440595043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47389237)-sin(-0.47397768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889798737792078-0.889759803066198)×R²
    abs(-0.08753278--0.08762865)×3.89347258801243e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89347258801243e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89347258801243e-05×40589641000000     		ar = 295379.372357858m²