Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31853 / 37876
↖ ↑ ↗
← S 27.000408°
W  5.026245°		 ← 544.27 m → S 27.000408°
W  5.020752°		 →
↑
544.21 m
↓
↑
544.21 m
↓
S 27.005302°
W  5.026245°		 ← 544.25 m →
296 192 m²		 S 27.005302°
W  5.020752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486045837402344 y=0.577949523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486045837402344 × 216)
    floor (0.486045837402344 × 65536)
    floor (31853.5)     		tx = 31853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577949523925781 × 216)
    floor (0.577949523925781 × 65536)
    floor (37876.5)     		ty = 37876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31853 / 37876 ti = "16/31853/37876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31853/37876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31853 ÷ 216
    31853 ÷ 65536     		x = 0.486038208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37876 ÷ 216
    37876 ÷ 65536     		y = 0.57794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486038208007812 × 2 - 1) × π
    -0.027923583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08772453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.1558837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.489723366518494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08772453} λ = -0.08772453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.489723366518494))-π/2
    2×atan(0.612795890599813)-π/2
    2×0.549775153882043-π/2
    1.09955030776409-1.57079632675     		φ = -0.47124602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08772453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.026245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47124602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.000408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31853 KachelY 37876 -0.08772453 -0.47124602 -5.026245 -27.000408
    Oben rechts KachelX + 1 31854 KachelY 37876 -0.08762865 -0.47124602 -5.020752 -27.000408
    Unten links KachelX 31853 KachelY + 1 37877 -0.08772453 -0.47133144 -5.026245 -27.005302
    Unten rechts KachelX + 1 31854 KachelY + 1 37877 -0.08762865 -0.47133144 -5.020752 -27.005302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47124602--0.47133144) × R
    8.54200000000027e-05 × 6371000     		dl = 544.210820000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47124602--0.47133144) × R
    8.54200000000027e-05 × 6371000     		dr = 544.210820000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08772453--0.08762865) × cos(-0.47124602) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.891003290862896 × 6371000     		do = 544.270678908429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08772453--0.08762865) × cos(-0.47133144) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.890964507201769 × 6371000     		du = 544.246987851629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47124602)-sin(-0.47133144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891003290862896-0.890964507201769)×R²
    abs(-0.08762865--0.08772453)×3.87836611273062e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.87836611273062e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.87836611273062e-05×40589641000000     		ar = 296191.546186145m²