Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31853 / 37594
↖ ↑ ↗
← S 25.611809°
W  5.026245°		 ← 550.83 m → S 25.611809°
W  5.020752°		 →
↑
550.84 m
↓
↑
550.84 m
↓
S 25.616763°
W  5.026245°		 ← 550.81 m →
303 412 m²		 S 25.616763°
W  5.020752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486045837402344 y=0.573646545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486045837402344 × 216)
    floor (0.486045837402344 × 65536)
    floor (31853.5)     		tx = 31853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573646545410156 × 216)
    floor (0.573646545410156 × 65536)
    floor (37594.5)     		ty = 37594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31853 / 37594 ti = "16/31853/37594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31853/37594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31853 ÷ 216
    31853 ÷ 65536     		x = 0.486038208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37594 ÷ 216
    37594 ÷ 65536     		y = 0.573638916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486038208007812 × 2 - 1) × π
    -0.027923583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08772453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.14727783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.462686955132782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08772453} λ = -0.08772453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462686955132782))-π/2
    2×atan(0.629589691483776)-π/2
    2×0.561892961635386-π/2
    1.12378592327077-1.57079632675     		φ = -0.44701040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08772453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.026245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44701040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.611809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31853 KachelY 37594 -0.08772453 -0.44701040 -5.026245 -25.611809
    Oben rechts KachelX + 1 31854 KachelY 37594 -0.08762865 -0.44701040 -5.020752 -25.611809
    Unten links KachelX 31853 KachelY + 1 37595 -0.08772453 -0.44709686 -5.026245 -25.616763
    Unten rechts KachelX + 1 31854 KachelY + 1 37595 -0.08762865 -0.44709686 -5.020752 -25.616763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44701040--0.44709686) × R
    8.64600000000104e-05 × 6371000     		dl = 550.836660000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44701040--0.44709686) × R
    8.64600000000104e-05 × 6371000     		dr = 550.836660000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08772453--0.08762865) × cos(-0.44701040) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.901743449412688 × 6371000     		do = 550.831320654003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08772453--0.08762865) × cos(-0.44709686) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.901706071838255 × 6371000     		du = 550.808488507342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44701040)-sin(-0.44709686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901743449412688-0.901706071838255)×R²
    abs(-0.08762865--0.08772453)×3.73775744326732e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.73775744326732e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.73775744326732e-05×40589641000000     		ar = 303411.796689736m²