Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31852 / 37892
↖ ↑ ↗
← S 27.078691°
W  5.031738°		 ← 543.83 m → S 27.078691°
W  5.026245°		 →
↑
543.89 m
↓
↑
543.89 m
↓
S 27.083583°
W  5.031738°		 ← 543.81 m →
295 781 m²		 S 27.083583°
W  5.026245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486030578613281 y=0.578193664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486030578613281 × 216)
    floor (0.486030578613281 × 65536)
    floor (31852.5)     		tx = 31852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578193664550781 × 216)
    floor (0.578193664550781 × 65536)
    floor (37892.5)     		ty = 37892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31852 / 37892 ti = "16/31852/37892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31852/37892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31852 ÷ 216
    31852 ÷ 65536     		x = 0.48602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37892 ÷ 216
    37892 ÷ 65536     		y = 0.57818603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.0279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08782040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57818603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1563720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.491257347306335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08782040} λ = -0.08782040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.491257347306335))-π/2
    2×atan(0.61185659409235)-π/2
    2×0.549092001038418-π/2
    1.09818400207684-1.57079632675     		φ = -0.47261232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08782040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.031738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47261232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.078691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31852 KachelY 37892 -0.08782040 -0.47261232 -5.031738 -27.078691
    Oben rechts KachelX + 1 31853 KachelY 37892 -0.08772453 -0.47261232 -5.026245 -27.078691
    Unten links KachelX 31852 KachelY + 1 37893 -0.08782040 -0.47269769 -5.031738 -27.083583
    Unten rechts KachelX + 1 31853 KachelY + 1 37893 -0.08772453 -0.47269769 -5.026245 -27.083583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47261232--0.47269769) × R
    8.5370000000029e-05 × 6371000     		dl = 543.892270000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47261232--0.47269769) × R
    8.5370000000029e-05 × 6371000     		dr = 543.892270000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08782040--0.08772453) × cos(-0.47261232) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.890382163514449 × 6371000     		do = 543.834536100832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08782040--0.08772453) × cos(-0.47269769) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.890343298667897 × 6371000     		du = 543.810797927876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47261232)-sin(-0.47269769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890382163514449-0.890343298667897)×R²
    abs(-0.08772453--0.08782040)×3.88648465513564e-05×R²
    9.58700000000118e-05×3.88648465513564e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×3.88648465513564e-05×40589641000000     		ar = 295780.945019532m²