Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31850 / 37891
↖ ↑ ↗
← S 27.073801°
W  5.042725°		 ← 543.91 m → S 27.073801°
W  5.037231°		 →
↑
543.83 m
↓
↑
543.83 m
↓
S 27.078691°
W  5.042725°		 ← 543.89 m →
295 790 m²		 S 27.078691°
W  5.037231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486000061035156 y=0.578178405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486000061035156 × 216)
    floor (0.486000061035156 × 65536)
    floor (31850.5)     		tx = 31850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578178405761719 × 216)
    floor (0.578178405761719 × 65536)
    floor (37891.5)     		ty = 37891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31850 / 37891 ti = "16/31850/37891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31850/37891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31850 ÷ 216
    31850 ÷ 65536     		x = 0.485992431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37891 ÷ 216
    37891 ÷ 65536     		y = 0.578170776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485992431640625 × 2 - 1) × π
    -0.02801513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08801215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578170776367188 × 2 - 1) × π
    -0.156341552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.491161473507095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08801215} λ = -0.08801215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.491161473507095))-π/2
    2×atan(0.611915257920733)-π/2
    2×0.549134684130063-π/2
    1.09826936826013-1.57079632675     		φ = -0.47252696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08801215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.042725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47252696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.073801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31850 KachelY 37891 -0.08801215 -0.47252696 -5.042725 -27.073801
    Oben rechts KachelX + 1 31851 KachelY 37891 -0.08791627 -0.47252696 -5.037231 -27.073801
    Unten links KachelX 31850 KachelY + 1 37892 -0.08801215 -0.47261232 -5.042725 -27.078691
    Unten rechts KachelX + 1 31851 KachelY + 1 37892 -0.08791627 -0.47261232 -5.037231 -27.078691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47252696--0.47261232) × R
    8.53599999999788e-05 × 6371000     		dl = 543.828559999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47252696--0.47261232) × R
    8.53599999999788e-05 × 6371000     		dr = 543.828559999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08801215--0.08791627) × cos(-0.47252696) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.890421017320484 × 6371000     		do = 543.914996253282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08801215--0.08791627) × cos(-0.47261232) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.890382163514449 × 6371000     		du = 543.891262348361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47252696)-sin(-0.47261232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890421017320484-0.890382163514449)×R²
    abs(-0.08791627--0.08801215)×3.88538060354104e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.88538060354104e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.88538060354104e-05×40589641000000     		ar = 295790.055766728m²