Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31846 / 37730
↖ ↑ ↗
← S 26.283565°
W  5.064697°		 ← 547.64 m → S 26.283565°
W  5.059204°		 →
↑
547.65 m
↓
↑
547.65 m
↓
S 26.288490°
W  5.064697°		 ← 547.62 m →
299 910 m²		 S 26.288490°
W  5.059204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485939025878906 y=0.575721740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485939025878906 × 216)
    floor (0.485939025878906 × 65536)
    floor (31846.5)     		tx = 31846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575721740722656 × 216)
    floor (0.575721740722656 × 65536)
    floor (37730.5)     		ty = 37730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31846 / 37730 ti = "16/31846/37730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31846/37730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31846 ÷ 216
    31846 ÷ 65536     		x = 0.485931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37730 ÷ 216
    37730 ÷ 65536     		y = 0.575714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.02813720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08839564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575714111328125 × 2 - 1) × π
    -0.15142822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.475725791829437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08839564} λ = -0.08839564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475725791829437))-π/2
    2×atan(0.621433861128939)-π/2
    2×0.556030789786347-π/2
    1.11206157957269-1.57079632675     		φ = -0.45873475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08839564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.064697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45873475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.283565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31846 KachelY 37730 -0.08839564 -0.45873475 -5.064697 -26.283565
    Oben rechts KachelX + 1 31847 KachelY 37730 -0.08829977 -0.45873475 -5.059204 -26.283565
    Unten links KachelX 31846 KachelY + 1 37731 -0.08839564 -0.45882071 -5.064697 -26.288490
    Unten rechts KachelX + 1 31847 KachelY + 1 37731 -0.08829977 -0.45882071 -5.059204 -26.288490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45873475--0.45882071) × R
    8.5959999999996e-05 × 6371000     		dl = 547.651159999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45873475--0.45882071) × R
    8.5959999999996e-05 × 6371000     		dr = 547.651159999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08839564--0.08829977) × cos(-0.45873475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896613485491882 × 6371000     		do = 547.640551355502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08839564--0.08829977) × cos(-0.45882071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896575417886048 × 6371000     		du = 547.617300127425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45873475)-sin(-0.45882071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896613485491882-0.896575417886048)×R²
    abs(-0.08829977--0.08839564)×3.80676058340246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80676058340246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80676058340246e-05×40589641000000     		ar = 299909.616616607m²