Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31841 / 37733
↖ ↑ ↗
← S 26.298340°
W  5.092163°		 ← 547.57 m → S 26.298340°
W  5.086670°		 →
↑
547.52 m
↓
↑
547.52 m
↓
S 26.303264°
W  5.092163°		 ← 547.55 m →
299 802 m²		 S 26.303264°
W  5.086670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485862731933594 y=0.575767517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485862731933594 × 216)
    floor (0.485862731933594 × 65536)
    floor (31841.5)     		tx = 31841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575767517089844 × 216)
    floor (0.575767517089844 × 65536)
    floor (37733.5)     		ty = 37733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31841 / 37733 ti = "16/31841/37733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31841/37733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31841 ÷ 216
    31841 ÷ 65536     		x = 0.485855102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37733 ÷ 216
    37733 ÷ 65536     		y = 0.575759887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485855102539062 × 2 - 1) × π
    -0.028289794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08887501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575759887695312 × 2 - 1) × π
    -0.151519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.476013413227158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08887501} λ = -0.08887501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476013413227158))-π/2
    2×atan(0.621255149155136)-π/2
    2×0.55590185538654-π/2
    1.11180371077308-1.57079632675     		φ = -0.45899262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08887501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.092163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45899262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.298340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31841 KachelY 37733 -0.08887501 -0.45899262 -5.092163 -26.298340
    Oben rechts KachelX + 1 31842 KachelY 37733 -0.08877914 -0.45899262 -5.086670 -26.298340
    Unten links KachelX 31841 KachelY + 1 37734 -0.08887501 -0.45907856 -5.092163 -26.303264
    Unten rechts KachelX + 1 31842 KachelY + 1 37734 -0.08877914 -0.45907856 -5.086670 -26.303264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45899262--0.45907856) × R
    8.59400000000066e-05 × 6371000     		dl = 547.523740000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45899262--0.45907856) × R
    8.59400000000066e-05 × 6371000     		dr = 547.523740000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08887501--0.08877914) × cos(-0.45899262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896499267230399 × 6371000     		do = 547.570788238278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08887501--0.08877914) × cos(-0.45907856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896461188613911 × 6371000     		du = 547.547530285028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45899262)-sin(-0.45907856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896499267230399-0.896461188613911)×R²
    abs(-0.08877914--0.08887501)×3.80786164883018e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80786164883018e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80786164883018e-05×40589641000000     		ar = 299801.638934683m²