Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31841 / 37731
↖ ↑ ↗
← S 26.288490°
W  5.092163°		 ← 547.62 m → S 26.288490°
W  5.086670°		 →
↑
547.59 m
↓
↑
547.59 m
↓
S 26.293415°
W  5.092163°		 ← 547.59 m →
299 862 m²		 S 26.293415°
W  5.086670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485862731933594 y=0.575736999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485862731933594 × 216)
    floor (0.485862731933594 × 65536)
    floor (31841.5)     		tx = 31841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575736999511719 × 216)
    floor (0.575736999511719 × 65536)
    floor (37731.5)     		ty = 37731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31841 / 37731 ti = "16/31841/37731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31841/37731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31841 ÷ 216
    31841 ÷ 65536     		x = 0.485855102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37731 ÷ 216
    37731 ÷ 65536     		y = 0.575729370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485855102539062 × 2 - 1) × π
    -0.028289794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08887501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575729370117188 × 2 - 1) × π
    -0.151458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.475821665628677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08887501} λ = -0.08887501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475821665628677))-π/2
    2×atan(0.621374284759649)-π/2
    2×0.555987809828037-π/2
    1.11197561965607-1.57079632675     		φ = -0.45882071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08887501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.092163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45882071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.288490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31841 KachelY 37731 -0.08887501 -0.45882071 -5.092163 -26.288490
    Oben rechts KachelX + 1 31842 KachelY 37731 -0.08877914 -0.45882071 -5.086670 -26.288490
    Unten links KachelX 31841 KachelY + 1 37732 -0.08887501 -0.45890666 -5.092163 -26.293415
    Unten rechts KachelX + 1 31842 KachelY + 1 37732 -0.08877914 -0.45890666 -5.086670 -26.293415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45882071--0.45890666) × R
    8.59500000000013e-05 × 6371000     		dl = 547.587450000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45882071--0.45890666) × R
    8.59500000000013e-05 × 6371000     		dr = 547.587450000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08887501--0.08877914) × cos(-0.45882071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896575417886048 × 6371000     		do = 547.617300127425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08887501--0.08877914) × cos(-0.45890666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896537348084991 × 6371000     		du = 547.594047558533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45882071)-sin(-0.45890666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896575417886048-0.896537348084991)×R²
    abs(-0.08877914--0.08887501)×3.806980105725e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.806980105725e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.806980105725e-05×40589641000000     		ar = 299861.994729871m²