Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31840 / 37728
↖ ↑ ↗
← S 26.273714°
W  5.097656°		 ← 547.74 m → S 26.273714°
W  5.092163°		 →
↑
547.65 m
↓
↑
547.65 m
↓
S 26.278639°
W  5.097656°		 ← 547.72 m →
299 966 m²		 S 26.278639°
W  5.092163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485847473144531 y=0.575691223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485847473144531 × 216)
    floor (0.485847473144531 × 65536)
    floor (31840.5)     		tx = 31840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575691223144531 × 216)
    floor (0.575691223144531 × 65536)
    floor (37728.5)     		ty = 37728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31840 / 37728 ti = "16/31840/37728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31840/37728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31840 ÷ 216
    31840 ÷ 65536     		x = 0.48583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37728 ÷ 216
    37728 ÷ 65536     		y = 0.57568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08897089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57568359375 × 2 - 1) × π
    -0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08897089} λ = -0.08897089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475534044230957))-π/2
    2×atan(0.621553031004329)-π/2
    2×0.556116755176891-π/2
    1.11223351035378-1.57079632675     		φ = -0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08897089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31840 KachelY 37728 -0.08897089 -0.45856282 -5.097656 -26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 31841 KachelY 37728 -0.08887501 -0.45856282 -5.092163 -26.273714
    Unten links KachelX 31840 KachelY + 1 37729 -0.08897089 -0.45864878 -5.097656 -26.278639
    Unten rechts KachelX + 1 31841 KachelY + 1 37729 -0.08887501 -0.45864878 -5.092163 -26.278639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45856282--0.45864878) × R
    8.5959999999996e-05 × 6371000     		dl = 547.651159999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45856282--0.45864878) × R
    8.5959999999996e-05 × 6371000     		dr = 547.651159999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08897089--0.08887501) × cos(-0.45856282) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 547.744172470169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08897089--0.08887501) × cos(-0.45864878) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.8966515508999 × 6371000     		du = 547.720926911457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45856282)-sin(-0.45864878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.8966515508999)×R²
    abs(-0.08887501--0.08897089)×3.80543544098444e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80543544098444e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80543544098444e-05×40589641000000     		ar = 299966.366392657m²