Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3184 / 3006
↖ ↑ ↗
← S 64.091407°
E 99.843750°		 ← 4 270.20 m → S 64.091407°
E 99.931641°		 →
↑
4 267.23 m
↓
↑
4 267.23 m
↓
S 64.129783°
E 99.843750°		 ← 4 264.32 m →
18 209 389 m²		 S 64.129783°
E 99.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7774658203125 y=0.7340087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7774658203125 × 212)
    floor (0.7774658203125 × 4096)
    floor (3184.5)     		tx = 3184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7340087890625 × 212)
    floor (0.7340087890625 × 4096)
    floor (3006.5)     		ty = 3006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3184 / 3006 ti = "12/3184/3006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3184/3006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3184 ÷ 212
    3184 ÷ 4096     		x = 0.77734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3006 ÷ 212
    3006 ÷ 4096     		y = 0.73388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77734375 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74260217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73388671875 × 2 - 1) × π
    -0.4677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46955359475244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74260217} λ = 1.74260217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46955359475244))-π/2
    2×atan(0.230028148042773)-π/2
    2×0.226095121653007-π/2
    0.452190243306014-1.57079632675     		φ = -1.11860608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74260217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11860608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.091407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3184 KachelY 3006 1.74260217 -1.11860608 99.843750 -64.091407
    Oben rechts KachelX + 1 3185 KachelY 3006 1.74413616 -1.11860608 99.931641 -64.091407
    Unten links KachelX 3184 KachelY + 1 3007 1.74260217 -1.11927587 99.843750 -64.129783
    Unten rechts KachelX + 1 3185 KachelY + 1 3007 1.74413616 -1.11927587 99.931641 -64.129783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11860608--1.11927587) × R
    0.000669790000000114 × 6371000     		dl = 4267.23209000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11860608--1.11927587) × R
    0.000669790000000114 × 6371000     		dr = 4267.23209000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74260217-1.74413616) × cos(-1.11860608) × R
    0.00153398999999999 × 0.436936690610512 × 6371000     		do = 4270.20425088267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74260217-1.74413616) × cos(-1.11927587) × R
    0.00153398999999999 × 0.436334121724797 × 6371000     		du = 4264.31531485938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11860608)-sin(-1.11927587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436936690610512-0.436334121724797)×R²
    abs(1.74413616-1.74260217)×0.000602568885715526×R²
    0.00153398999999999×0.000602568885715526×6371000²
    0.00153398999999999×0.000602568885715526×40589641000000     		ar = 18209388.5625973m²