Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31835 / 37885
↖ ↑ ↗
← S 27.044449°
W  5.125122°		 ← 544 m → S 27.044449°
W  5.119629°		 →
↑
544.02 m
↓
↑
544.02 m
↓
S 27.049342°
W  5.125122°		 ← 543.98 m →
295 941 m²		 S 27.049342°
W  5.119629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485771179199219 y=0.578086853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485771179199219 × 216)
    floor (0.485771179199219 × 65536)
    floor (31835.5)     		tx = 31835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578086853027344 × 216)
    floor (0.578086853027344 × 65536)
    floor (37885.5)     		ty = 37885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31835 / 37885 ti = "16/31835/37885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31835/37885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31835 ÷ 216
    31835 ÷ 65536     		x = 0.485763549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37885 ÷ 216
    37885 ÷ 65536     		y = 0.578079223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485763549804688 × 2 - 1) × π
    -0.028472900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08945025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578079223632812 × 2 - 1) × π
    -0.156158447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.490586230711655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08945025} λ = -0.08945025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490586230711655))-π/2
    2×atan(0.612267359026375)-π/2
    2×0.549390821785459-π/2
    1.09878164357092-1.57079632675     		φ = -0.47201468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08945025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.125122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47201468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.044449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31835 KachelY 37885 -0.08945025 -0.47201468 -5.125122 -27.044449
    Oben rechts KachelX + 1 31836 KachelY 37885 -0.08935438 -0.47201468 -5.119629 -27.044449
    Unten links KachelX 31835 KachelY + 1 37886 -0.08945025 -0.47210007 -5.125122 -27.049342
    Unten rechts KachelX + 1 31836 KachelY + 1 37886 -0.08935438 -0.47210007 -5.119629 -27.049342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47201468--0.47210007) × R
    8.5389999999963e-05 × 6371000     		dl = 544.019689999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47201468--0.47210007) × R
    8.5389999999963e-05 × 6371000     		dr = 544.019689999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08945025--0.08935438) × cos(-0.47201468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890654058462667 × 6371000     		do = 544.00060620985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08945025--0.08935438) × cos(-0.47210007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890615229954677 × 6371000     		du = 543.976890232042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47201468)-sin(-0.47210007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890654058462667-0.890615229954677)×R²
    abs(-0.08935438--0.08945025)×3.88285079904183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88285079904183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88285079904183e-05×40589641000000     		ar = 295940.590350269m²