Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31834 / 37886
↖ ↑ ↗
← S 27.049342°
W  5.130615°		 ← 544.03 m → S 27.049342°
W  5.125122°		 →
↑
544.02 m
↓
↑
544.02 m
↓
S 27.054234°
W  5.130615°		 ← 544.01 m →
295 959 m²		 S 27.054234°
W  5.125122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485755920410156 y=0.578102111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485755920410156 × 216)
    floor (0.485755920410156 × 65536)
    floor (31834.5)     		tx = 31834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578102111816406 × 216)
    floor (0.578102111816406 × 65536)
    floor (37886.5)     		ty = 37886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31834 / 37886 ti = "16/31834/37886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31834/37886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31834 ÷ 216
    31834 ÷ 65536     		x = 0.485748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37886 ÷ 216
    37886 ÷ 65536     		y = 0.578094482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485748291015625 × 2 - 1) × π
    -0.02850341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08954613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.15618896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.490682104510895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08954613} λ = -0.08954613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490682104510895))-π/2
    2×atan(0.61220866144234)-π/2
    2×0.549348127521956-π/2
    1.09869625504391-1.57079632675     		φ = -0.47210007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08954613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.130615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47210007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.049342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31834 KachelY 37886 -0.08954613 -0.47210007 -5.130615 -27.049342
    Oben rechts KachelX + 1 31835 KachelY 37886 -0.08945025 -0.47210007 -5.125122 -27.049342
    Unten links KachelX 31834 KachelY + 1 37887 -0.08954613 -0.47218546 -5.130615 -27.054234
    Unten rechts KachelX + 1 31835 KachelY + 1 37887 -0.08945025 -0.47218546 -5.125122 -27.054234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47210007--0.47218546) × R
    8.53900000000185e-05 × 6371000     		dl = 544.019690000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47210007--0.47218546) × R
    8.53900000000185e-05 × 6371000     		dr = 544.019690000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08954613--0.08945025) × cos(-0.47210007) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.890615229954677 × 6371000     		do = 544.033631328392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08954613--0.08945025) × cos(-0.47218546) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.890576394952808 × 6371000     		du = 544.009908910024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47210007)-sin(-0.47218546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890615229954677-0.890576394952808)×R²
    abs(-0.08945025--0.08954613)×3.88350018686312e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.88350018686312e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.88350018686312e-05×40589641000000     		ar = 295958.554913395m²